Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17977 / 52248
↖ ↑ ↗
← S 72.435534°
W 81.249389°		 ← 184.32 m → S 72.435534°
W 81.243896°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
S 72.437193°
W 81.249389°		 ← 184.31 m →
33 983 m²		 S 72.437193°
W 81.243896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274314880371094 y=0.797248840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274314880371094 × 216)
    floor (0.274314880371094 × 65536)
    floor (17977.5)     		tx = 17977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797248840332031 × 216)
    floor (0.797248840332031 × 65536)
    floor (52248.5)     		ty = 52248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17977 / 52248 ti = "16/17977/52248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17977/52248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17977 ÷ 216
    17977 ÷ 65536     		x = 0.274307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52248 ÷ 216
    52248 ÷ 65536     		y = 0.7972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274307250976562 × 2 - 1) × π
    -0.451385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41806936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41806936} λ = -1.41806936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86762160919739))-π/2
    2×atan(0.154490664379616)-π/2
    2×0.15327887588813-π/2
    0.30655775177626-1.57079632675     		φ = -1.26423857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41806936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.249389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26423857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.435534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17977 KachelY 52248 -1.41806936 -1.26423857 -81.249389 -72.435534
    Oben rechts KachelX + 1 17978 KachelY 52248 -1.41797349 -1.26423857 -81.243896 -72.435534
    Unten links KachelX 17977 KachelY + 1 52249 -1.41806936 -1.26426751 -81.249389 -72.437193
    Unten rechts KachelX + 1 17978 KachelY + 1 52249 -1.41797349 -1.26426751 -81.243896 -72.437193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26423857--1.26426751) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26423857--1.26426751) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41806936--1.41797349) × cos(-1.26423857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30177867183341 × 6371000     		do = 184.322722002686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41806936--1.41797349) × cos(-1.26426751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301751080947382 × 6371000     		du = 184.305869826937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26423857)-sin(-1.26426751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30177867183341-0.301751080947382)×R²
    abs(-1.41797349--1.41806936)×2.75908860286056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75908860286056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75908860286056e-05×40589641000000     		ar = 33983.2690187591m²