Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17976 / 52249
↖ ↑ ↗
← S 72.437193°
W 81.254883°		 ← 184.33 m → S 72.437193°
W 81.249389°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 72.438850°
W 81.254883°		 ← 184.31 m →
33 972 m²		 S 72.438850°
W 81.249389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274299621582031 y=0.797264099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274299621582031 × 216)
    floor (0.274299621582031 × 65536)
    floor (17976.5)     		tx = 17976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797264099121094 × 216)
    floor (0.797264099121094 × 65536)
    floor (52249.5)     		ty = 52249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17976 / 52249 ti = "16/17976/52249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17976/52249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17976 ÷ 216
    17976 ÷ 65536     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52249 ÷ 216
    52249 ÷ 65536     		y = 0.797256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797256469726562 × 2 - 1) × π
    -0.594512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86771748299663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86771748299663))-π/2
    2×atan(0.154475853482675)-π/2
    2×0.153264410215582-π/2
    0.306528820431165-1.57079632675     		φ = -1.26426751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26426751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.437193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17976 KachelY 52249 -1.41816524 -1.26426751 -81.254883 -72.437193
    Oben rechts KachelX + 1 17977 KachelY 52249 -1.41806936 -1.26426751 -81.249389 -72.437193
    Unten links KachelX 17976 KachelY + 1 52250 -1.41816524 -1.26429644 -81.254883 -72.438850
    Unten rechts KachelX + 1 17977 KachelY + 1 52250 -1.41806936 -1.26429644 -81.249389 -72.438850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26426751--1.26429644) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26426751--1.26429644) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41806936) × cos(-1.26426751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301751080947382 × 6371000     		do = 184.325094388187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41806936) × cos(-1.26429644) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301723499342584 × 6371000     		du = 184.308246124076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26426751)-sin(-1.26429644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301751080947382-0.301723499342584)×R²
    abs(-1.41806936--1.41816524)×2.75816047975996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.75816047975996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.75816047975996e-05×40589641000000     		ar = 33971.9639769773m²