Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17975 / 52146
↖ ↑ ↗
← S 72.265657°
W 81.260376°		 ← 186.05 m → S 72.265657°
W 81.254883°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 72.267330°
W 81.260376°		 ← 186.03 m →
34 610 m²		 S 72.267330°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274284362792969 y=0.795692443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274284362792969 × 216)
    floor (0.274284362792969 × 65536)
    floor (17975.5)     		tx = 17975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795692443847656 × 216)
    floor (0.795692443847656 × 65536)
    floor (52146.5)     		ty = 52146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17975 / 52146 ti = "16/17975/52146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17975/52146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17975 ÷ 216
    17975 ÷ 65536     		x = 0.274276733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52146 ÷ 216
    52146 ÷ 65536     		y = 0.795684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274276733398438 × 2 - 1) × π
    -0.451446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41826111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.59136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8578424816749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41826111} λ = -1.41826111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8578424816749))-π/2
    2×atan(0.156008859500565)-π/2
    2×0.154761339684415-π/2
    0.309522679368831-1.57079632675     		φ = -1.26127365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41826111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.260376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26127365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.265657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17975 KachelY 52146 -1.41826111 -1.26127365 -81.260376 -72.265657
    Oben rechts KachelX + 1 17976 KachelY 52146 -1.41816524 -1.26127365 -81.254883 -72.265657
    Unten links KachelX 17975 KachelY + 1 52147 -1.41826111 -1.26130285 -81.260376 -72.267330
    Unten rechts KachelX + 1 17976 KachelY + 1 52147 -1.41816524 -1.26130285 -81.254883 -72.267330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26127365--1.26130285) × R
    2.92000000001735e-05 × 6371000     		dl = 186.033200001106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26127365--1.26130285) × R
    2.92000000001735e-05 × 6371000     		dr = 186.033200001106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41826111--1.41816524) × cos(-1.26127365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304604030796911 × 6371000     		do = 186.048416703452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41826111--1.41816524) × cos(-1.26130285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304576218278125 × 6371000     		du = 186.031429157125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26127365)-sin(-1.26130285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304604030796911-0.304576218278125)×R²
    abs(-1.41816524--1.41826111)×2.78125187853639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78125187853639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78125187853639e-05×40589641000000     		ar = 34609.6021931167m²