Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17974 / 52246
↖ ↑ ↗
← S 72.432219°
W 81.265869°		 ← 184.38 m → S 72.432219°
W 81.260376°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
S 72.433877°
W 81.265869°		 ← 184.36 m →
33 993 m²		 S 72.433877°
W 81.260376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274269104003906 y=0.797218322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274269104003906 × 216)
    floor (0.274269104003906 × 65536)
    floor (17974.5)     		tx = 17974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797218322753906 × 216)
    floor (0.797218322753906 × 65536)
    floor (52246.5)     		ty = 52246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17974 / 52246 ti = "16/17974/52246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17974/52246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17974 ÷ 216
    17974 ÷ 65536     		x = 0.274261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52246 ÷ 216
    52246 ÷ 65536     		y = 0.797210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.45147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41835699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.59442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86742986159891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41835699} λ = -1.41835699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86742986159891))-π/2
    2×atan(0.15452029043377)-π/2
    2×0.153307811200176-π/2
    0.306615622400351-1.57079632675     		φ = -1.26418070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41835699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.265869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26418070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.432219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17974 KachelY 52246 -1.41835699 -1.26418070 -81.265869 -72.432219
    Oben rechts KachelX + 1 17975 KachelY 52246 -1.41826111 -1.26418070 -81.260376 -72.432219
    Unten links KachelX 17974 KachelY + 1 52247 -1.41835699 -1.26420964 -81.265869 -72.433877
    Unten rechts KachelX + 1 17975 KachelY + 1 52247 -1.41826111 -1.26420964 -81.260376 -72.433877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26418070--1.26420964) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26418070--1.26420964) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41835699--1.41826111) × cos(-1.26418070) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301833843313599 × 6371000     		do = 184.375649902079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41835699--1.41826111) × cos(-1.26420964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301806252932999 × 6371000     		du = 184.358796277256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26418070)-sin(-1.26420964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301833843313599-0.301806252932999)×R²
    abs(-1.41826111--1.41835699)×2.75903805993516e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.75903805993516e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.75903805993516e-05×40589641000000     		ar = 33993.0275585501m²