Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17974 / 23863
↖ ↑ ↗
← S 63.189064°
E 17.468262°		 ← 551.02 m → S 63.189064°
E 17.479248°		 →
↑
550.96 m
↓
↑
550.96 m
↓
S 63.194018°
E 17.468262°		 ← 550.92 m →
303 565 m²		 S 63.194018°
E 17.479248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548538208007812 y=0.728256225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548538208007812 × 215)
    floor (0.548538208007812 × 32768)
    floor (17974.5)     		tx = 17974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728256225585938 × 215)
    floor (0.728256225585938 × 32768)
    floor (23863.5)     		ty = 23863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17974 / 23863 ti = "15/17974/23863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17974/23863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17974 ÷ 215
    17974 ÷ 32768     		x = 0.54852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23863 ÷ 215
    23863 ÷ 32768     		y = 0.728240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54852294921875 × 2 - 1) × π
    0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.45648193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4340802890336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30487868} λ = 0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4340802890336))-π/2
    2×atan(0.238334462064235)-π/2
    2×0.233969558727806-π/2
    0.467939117455612-1.57079632675     		φ = -1.10285721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10285721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.189064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17974 KachelY 23863 0.30487868 -1.10285721 17.468262 -63.189064
    Oben rechts KachelX + 1 17975 KachelY 23863 0.30507043 -1.10285721 17.479248 -63.189064
    Unten links KachelX 17974 KachelY + 1 23864 0.30487868 -1.10294369 17.468262 -63.194018
    Unten rechts KachelX + 1 17975 KachelY + 1 23864 0.30507043 -1.10294369 17.479248 -63.194018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10285721--1.10294369) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dl = 550.964079999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10285721--1.10294369) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dr = 550.964079999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30487868-0.30507043) × cos(-1.10285721) × R
    0.000191749999999991 × 0.451047906810444 × 6371000     		do = 551.017826589953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30487868-0.30507043) × cos(-1.10294369) × R
    0.000191749999999991 × 0.450970721746385 × 6371000     		du = 550.923534286185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10285721)-sin(-1.10294369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451047906810444-0.450970721746385)×R²
    abs(0.30507043-0.30487868)×7.71850640586824e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71850640586824e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71850640586824e-05×40589641000000     		ar = 303565.054243584m²