Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17973 / 13879
↖ ↑ ↗
← N 80.390523°
W130.635681°		 ← 50.99 m → N 80.390523°
W130.632935°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.390064°
W130.635681°		 ← 50.99 m →
2 602 m²		 N 80.390064°
W130.632935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137126922607422 y=0.105892181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137126922607422 × 217)
    floor (0.137126922607422 × 131072)
    floor (17973.5)     		tx = 17973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105892181396484 × 217)
    floor (0.105892181396484 × 131072)
    floor (13879.5)     		ty = 13879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17973 / 13879 ti = "17/17973/13879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17973/13879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17973 ÷ 217
    17973 ÷ 131072     		x = 0.137123107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13879 ÷ 217
    13879 ÷ 131072     		y = 0.105888366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137123107910156 × 2 - 1) × π
    -0.725753784179688 × 3.1415926535     		Λ = -2.28002276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105888366699219 × 2 - 1) × π
    0.788223266601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.47627642367324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28002276} λ = -2.28002276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47627642367324))-π/2
    2×atan(11.8968828886362)-π/2
    2×1.48693782144655-π/2
    2.97387564289309-1.57079632675     		φ = 1.40307932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28002276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.635681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40307932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.390523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17973 KachelY 13879 -2.28002276 1.40307932 -130.635681 80.390523
    Oben rechts KachelX + 1 17974 KachelY 13879 -2.27997482 1.40307932 -130.632935 80.390523
    Unten links KachelX 17973 KachelY + 1 13880 -2.28002276 1.40307131 -130.635681 80.390064
    Unten rechts KachelX + 1 17974 KachelY + 1 13880 -2.27997482 1.40307131 -130.632935 80.390064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40307932-1.40307131) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40307932-1.40307131) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28002276--2.27997482) × cos(1.40307932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166931826801767 × 6371000     		do = 50.9852767304482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28002276--2.27997482) × cos(1.40307131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166939724403619 × 6371000     		du = 50.9876888613378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40307932)-sin(1.40307131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166931826801767-0.166939724403619)×R²
    abs(-2.27997482--2.28002276)×7.89760185121446e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89760185121446e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89760185121446e-06×40589641000000     		ar = 2601.92740402017m²