Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17971 / 52461
↖ ↑ ↗
← S 72.785212°
W 81.282349°		 ← 180.78 m → S 72.785212°
W 81.276855°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
S 72.786837°
W 81.282349°		 ← 180.77 m →
32 674 m²		 S 72.786837°
W 81.276855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274223327636719 y=0.800498962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274223327636719 × 216)
    floor (0.274223327636719 × 65536)
    floor (17971.5)     		tx = 17971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800498962402344 × 216)
    floor (0.800498962402344 × 65536)
    floor (52461.5)     		ty = 52461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17971 / 52461 ti = "16/17971/52461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17971/52461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17971 ÷ 216
    17971 ÷ 65536     		x = 0.274215698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52461 ÷ 216
    52461 ÷ 65536     		y = 0.800491333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274215698242188 × 2 - 1) × π
    -0.451568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41864461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800491333007812 × 2 - 1) × π
    -0.600982666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88804272843553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41864461} λ = -1.41864461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88804272843553))-π/2
    2×atan(0.151367786952285)-π/2
    2×0.150227367405064-π/2
    0.300454734810128-1.57079632675     		φ = -1.27034159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41864461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.282349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27034159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.785212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17971 KachelY 52461 -1.41864461 -1.27034159 -81.282349 -72.785212
    Oben rechts KachelX + 1 17972 KachelY 52461 -1.41854873 -1.27034159 -81.276855 -72.785212
    Unten links KachelX 17971 KachelY + 1 52462 -1.41864461 -1.27036996 -81.282349 -72.786837
    Unten rechts KachelX + 1 17972 KachelY + 1 52462 -1.41854873 -1.27036996 -81.276855 -72.786837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27034159--1.27036996) × R
    2.83700000001108e-05 × 6371000     		dl = 180.745270000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27034159--1.27036996) × R
    2.83700000001108e-05 × 6371000     		dr = 180.745270000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41864461--1.41854873) × cos(-1.27034159) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.295954602744826 × 6371000     		do = 180.784307099789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41864461--1.41854873) × cos(-1.27036996) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.295927503544806 × 6371000     		du = 180.76775351335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27034159)-sin(-1.27036996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295954602744826-0.295927503544806)×R²
    abs(-1.41854873--1.41864461)×2.70992000198644e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.70992000198644e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.70992000198644e-05×40589641000000     		ar = 32674.4124095945m²