Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17970 / 52412
↖ ↑ ↗
← S 72.705372°
W 81.287842°		 ← 181.58 m → S 72.705372°
W 81.282349°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
S 72.707005°
W 81.287842°		 ← 181.56 m →
32 968 m²		 S 72.707005°
W 81.282349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274208068847656 y=0.799751281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274208068847656 × 216)
    floor (0.274208068847656 × 65536)
    floor (17970.5)     		tx = 17970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799751281738281 × 216)
    floor (0.799751281738281 × 65536)
    floor (52412.5)     		ty = 52412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17970 / 52412 ti = "16/17970/52412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17970/52412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17970 ÷ 216
    17970 ÷ 65536     		x = 0.274200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52412 ÷ 216
    52412 ÷ 65536     		y = 0.79974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.45159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41874048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88334491227277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41874048} λ = -1.41874048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88334491227277))-π/2
    2×atan(0.152080557910944)-π/2
    2×0.150924099409716-π/2
    0.301848198819433-1.57079632675     		φ = -1.26894813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41874048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.287842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26894813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.705372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17970 KachelY 52412 -1.41874048 -1.26894813 -81.287842 -72.705372
    Oben rechts KachelX + 1 17971 KachelY 52412 -1.41864461 -1.26894813 -81.282349 -72.705372
    Unten links KachelX 17970 KachelY + 1 52413 -1.41874048 -1.26897663 -81.287842 -72.707005
    Unten rechts KachelX + 1 17971 KachelY + 1 52413 -1.41864461 -1.26897663 -81.282349 -72.707005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26894813--1.26897663) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26894813--1.26897663) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41874048--1.41864461) × cos(-1.26894813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29728535076994 × 6371000     		do = 181.578256450435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41874048--1.41864461) × cos(-1.26897663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297258139171877 × 6371000     		du = 181.561635939136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26894813)-sin(-1.26897663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29728535076994-0.297258139171877)×R²
    abs(-1.41864461--1.41874048)×2.72115980629595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72115980629595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72115980629595e-05×40589641000000     		ar = 32968.2906275205m²