Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1797 / 2728
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 22.060547°		 ← 6 126.54 m → S 51.179343°
W 21.972656°		 →
↑
6 122.91 m
↓
↑
6 122.91 m
↓
S 51.234407°
W 22.060547°		 ← 6 119.22 m →
37 489 841 m²		 S 51.234407°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4388427734375 y=0.6661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4388427734375 × 212)
    floor (0.4388427734375 × 4096)
    floor (1797.5)     		tx = 1797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6661376953125 × 212)
    floor (0.6661376953125 × 4096)
    floor (2728.5)     		ty = 2728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1797 / 2728 ti = "12/1797/2728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1797/2728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1797 ÷ 212
    1797 ÷ 4096     		x = 0.438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2728 ÷ 212
    2728 ÷ 4096     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.12255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38502918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38502918} λ = -0.38502918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38502918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1797 KachelY 2728 -0.38502918 -0.89324804 -22.060547 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 1798 KachelY 2728 -0.38349520 -0.89324804 -21.972656 -51.179343
    Unten links KachelX 1797 KachelY + 1 2729 -0.38502918 -0.89420910 -22.060547 -51.234407
    Unten rechts KachelX + 1 1798 KachelY + 1 2729 -0.38349520 -0.89420910 -21.972656 -51.234407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89420910) × R
    0.000961059999999958 × 6371000     		dl = 6122.91325999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89420910) × R
    0.000961059999999958 × 6371000     		dr = 6122.91325999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38502918--0.38349520) × cos(-0.89324804) × R
    0.00153398000000005 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 6126.53625698555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38502918--0.38349520) × cos(-0.89420910) × R
    0.00153398000000005 × 0.626135688050928 × 6371000     		du = 6119.21567658097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89420910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626135688050928)×R²
    abs(-0.38349520--0.38502918)×0.000749062770592168×R²
    0.00153398000000005×0.000749062770592168×6371000²
    0.00153398000000005×0.000749062770592168×40589641000000     		ar = 37489841.3319361m²