Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17969 / 52460
↖ ↑ ↗
← S 72.783586°
W 81.293335°		 ← 180.78 m → S 72.783586°
W 81.287842°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
S 72.785212°
W 81.293335°		 ← 180.77 m →
32 674 m²		 S 72.785212°
W 81.287842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274192810058594 y=0.800483703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274192810058594 × 216)
    floor (0.274192810058594 × 65536)
    floor (17969.5)     		tx = 17969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800483703613281 × 216)
    floor (0.800483703613281 × 65536)
    floor (52460.5)     		ty = 52460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17969 / 52460 ti = "16/17969/52460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17969/52460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17969 ÷ 216
    17969 ÷ 65536     		x = 0.274185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52460 ÷ 216
    52460 ÷ 65536     		y = 0.80047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.451629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41883635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.6009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88794685463629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41883635} λ = -1.41883635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88794685463629))-π/2
    2×atan(0.151382299852795)-π/2
    2×0.150241555200696-π/2
    0.300483110401392-1.57079632675     		φ = -1.27031322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41883635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.293335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27031322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.783586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17969 KachelY 52460 -1.41883635 -1.27031322 -81.293335 -72.783586
    Oben rechts KachelX + 1 17970 KachelY 52460 -1.41874048 -1.27031322 -81.287842 -72.783586
    Unten links KachelX 17969 KachelY + 1 52461 -1.41883635 -1.27034159 -81.293335 -72.785212
    Unten rechts KachelX + 1 17970 KachelY + 1 52461 -1.41874048 -1.27034159 -81.287842 -72.785212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27031322--1.27034159) × R
    2.83699999998888e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27031322--1.27034159) × R
    2.83699999998888e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41883635--1.41874048) × cos(-1.27031322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295981701706645 × 6371000     		do = 180.782003546203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41883635--1.41874048) × cos(-1.27034159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295954602744826 × 6371000     		du = 180.765451831744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27031322)-sin(-1.27034159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295981701706645-0.295954602744826)×R²
    abs(-1.41874048--1.41883635)×2.70989618185169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70989618185169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70989618185169e-05×40589641000000     		ar = 32673.9962223012m²