Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17969 / 23888
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
E 17.413330°		 ← 548.66 m → S 63.312683°
E 17.424316°		 →
↑
548.61 m
↓
↑
548.61 m
↓
S 63.317616°
E 17.413330°		 ← 548.57 m →
300 975 m²		 S 63.317616°
E 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548385620117188 y=0.729019165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548385620117188 × 215)
    floor (0.548385620117188 × 32768)
    floor (17969.5)     		tx = 17969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729019165039062 × 215)
    floor (0.729019165039062 × 32768)
    floor (23888.5)     		ty = 23888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17969 / 23888 ti = "15/17969/23888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17969/23888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17969 ÷ 215
    17969 ÷ 32768     		x = 0.548370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23888 ÷ 215
    23888 ÷ 32768     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548370361328125 × 2 - 1) × π
    0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30391994} λ = 0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17969 KachelY 23888 0.30391994 -1.10501477 17.413330 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 17970 KachelY 23888 0.30411169 -1.10501477 17.424316 -63.312683
    Unten links KachelX 17969 KachelY + 1 23889 0.30391994 -1.10510088 17.413330 -63.317616
    Unten rechts KachelX + 1 17970 KachelY + 1 23889 0.30411169 -1.10510088 17.424316 -63.317616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10510088) × R
    8.61100000000281e-05 × 6371000     		dl = 548.606810000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10510088) × R
    8.61100000000281e-05 × 6371000     		dr = 548.606810000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30391994-0.30411169) × cos(-1.10501477) × R
    0.000191749999999991 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 548.664130806763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30391994-0.30411169) × cos(-1.10510088) × R
    0.000191749999999991 × 0.449044298299541 × 6371000     		du = 548.570139791401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10510088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.449044298299541)×R²
    abs(0.30411169-0.30391994)×7.69384377274362e-05×R²
    0.000191749999999991×7.69384377274362e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.69384377274362e-05×40589641000000     		ar = 300975.096693775m²