Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17968 / 9840
↖ ↑ ↗
← N 82.076089°
W130.649414°		 ← 42.11 m → N 82.076089°
W130.646667°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.075710°
W130.649414°		 ← 42.11 m →
1 773 m²		 N 82.075710°
W130.646667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137088775634766 y=0.0750770568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137088775634766 × 217)
    floor (0.137088775634766 × 131072)
    floor (17968.5)     		tx = 17968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0750770568847656 × 217)
    floor (0.0750770568847656 × 131072)
    floor (9840.5)     		ty = 9840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17968 / 9840 ti = "17/17968/9840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17968/9840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17968 ÷ 217
    17968 ÷ 131072     		x = 0.1370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9840 ÷ 217
    9840 ÷ 131072     		y = 0.0750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28026244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0750732421875 × 2 - 1) × π
    0.849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66989356123865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28026244} λ = -2.28026244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66989356123865))-π/2
    2×atan(14.4384323021619)-π/2
    2×1.50164715592143-π/2
    3.00329431184286-1.57079632675     		φ = 1.43249799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28026244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.649414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43249799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.076089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17968 KachelY 9840 -2.28026244 1.43249799 -130.649414 82.076089
    Oben rechts KachelX + 1 17969 KachelY 9840 -2.28021450 1.43249799 -130.646667 82.076089
    Unten links KachelX 17968 KachelY + 1 9841 -2.28026244 1.43249138 -130.649414 82.075710
    Unten rechts KachelX + 1 17969 KachelY + 1 9841 -2.28021450 1.43249138 -130.646667 82.075710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43249799-1.43249138) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43249799-1.43249138) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28026244--2.28021450) × cos(1.43249799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137857899297085 × 6371000     		do = 42.1053509076299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28026244--2.28021450) × cos(1.43249138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137864446181911 × 6371000     		du = 42.1073504947726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43249799)-sin(1.43249138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137857899297085-0.137864446181911)×R²
    abs(-2.28021450--2.28026244)×6.54688482609744e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.54688482609744e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.54688482609744e-06×40589641000000     		ar = 1773.19569368058m²