Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17968 / 52457
↖ ↑ ↗
← S 72.778707°
W 81.298828°		 ← 180.85 m → S 72.778707°
W 81.293335°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
S 72.780334°
W 81.298828°		 ← 180.83 m →
32 709 m²		 S 72.780334°
W 81.293335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274177551269531 y=0.800437927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274177551269531 × 216)
    floor (0.274177551269531 × 65536)
    floor (17968.5)     		tx = 17968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800437927246094 × 216)
    floor (0.800437927246094 × 65536)
    floor (52457.5)     		ty = 52457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17968 / 52457 ti = "16/17968/52457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17968/52457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17968 ÷ 216
    17968 ÷ 65536     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52457 ÷ 216
    52457 ÷ 65536     		y = 0.800430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800430297851562 × 2 - 1) × π
    -0.600860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88765923323857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88765923323857))-π/2
    2×atan(0.151425846903701)-π/2
    2×0.150284126384123-π/2
    0.300568252768246-1.57079632675     		φ = -1.27022807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27022807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.778707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17968 KachelY 52457 -1.41893223 -1.27022807 -81.298828 -72.778707
    Oben rechts KachelX + 1 17969 KachelY 52457 -1.41883635 -1.27022807 -81.293335 -72.778707
    Unten links KachelX 17968 KachelY + 1 52458 -1.41893223 -1.27025646 -81.298828 -72.780334
    Unten rechts KachelX + 1 17969 KachelY + 1 52458 -1.41883635 -1.27025646 -81.293335 -72.780334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27022807--1.27025646) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27022807--1.27025646) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41883635) × cos(-1.27022807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.296063035369412 × 6371000     		do = 180.850543328579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41883635) × cos(-1.27025646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.296035918019128 × 6371000     		du = 180.833978655024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27022807)-sin(-1.27025646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296063035369412-0.296035918019128)×R²
    abs(-1.41883635--1.41893223)×2.71173502846001e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.71173502846001e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.71173502846001e-05×40589641000000     		ar = 32709.4262135165m²