Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17968 / 52272
↖ ↑ ↗
← S 72.475276°
W 81.298828°		 ← 183.94 m → S 72.475276°
W 81.293335°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
S 72.476931°
W 81.298828°		 ← 183.92 m →
33 830 m²		 S 72.476931°
W 81.293335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274177551269531 y=0.797615051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274177551269531 × 216)
    floor (0.274177551269531 × 65536)
    floor (17968.5)     		tx = 17968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797615051269531 × 216)
    floor (0.797615051269531 × 65536)
    floor (52272.5)     		ty = 52272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17968 / 52272 ti = "16/17968/52272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17968/52272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17968 ÷ 216
    17968 ÷ 65536     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52272 ÷ 216
    52272 ÷ 65536     		y = 0.797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.59521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86992258037915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86992258037915))-π/2
    2×atan(0.154135594472498)-π/2
    2×0.152932064446311-π/2
    0.305864128892622-1.57079632675     		φ = -1.26493220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26493220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.475276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17968 KachelY 52272 -1.41893223 -1.26493220 -81.298828 -72.475276
    Oben rechts KachelX + 1 17969 KachelY 52272 -1.41883635 -1.26493220 -81.293335 -72.475276
    Unten links KachelX 17968 KachelY + 1 52273 -1.41893223 -1.26496107 -81.298828 -72.476931
    Unten rechts KachelX + 1 17969 KachelY + 1 52273 -1.41883635 -1.26496107 -81.293335 -72.476931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26493220--1.26496107) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dl = 183.930769999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26493220--1.26496107) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dr = 183.930769999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41883635) × cos(-1.26493220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301117307699907 × 6371000     		do = 183.937953061983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41883635) × cos(-1.26496107) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301089777514699 × 6371000     		du = 183.921136207604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26493220)-sin(-1.26496107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301117307699907-0.301089777514699)×R²
    abs(-1.41883635--1.41893223)×2.75301852073473e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.75301852073473e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.75301852073473e-05×40589641000000     		ar = 33830.3027730175m²