Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17967 / 52463
↖ ↑ ↗
← S 72.788463°
W 81.304321°		 ← 180.73 m → S 72.788463°
W 81.298828°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
S 72.790088°
W 81.304321°		 ← 180.72 m →
32 654 m²		 S 72.790088°
W 81.298828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274162292480469 y=0.800529479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274162292480469 × 216)
    floor (0.274162292480469 × 65536)
    floor (17967.5)     		tx = 17967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800529479980469 × 216)
    floor (0.800529479980469 × 65536)
    floor (52463.5)     		ty = 52463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17967 / 52463 ti = "16/17967/52463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17967/52463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17967 ÷ 216
    17967 ÷ 65536     		x = 0.274154663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52463 ÷ 216
    52463 ÷ 65536     		y = 0.800521850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274154663085938 × 2 - 1) × π
    -0.451690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41902810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800521850585938 × 2 - 1) × π
    -0.601043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88823447603401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41902810} λ = -1.41902810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88823447603401))-π/2
    2×atan(0.151338765325152)-π/2
    2×0.150198995711419-π/2
    0.300397991422839-1.57079632675     		φ = -1.27039834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41902810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.304321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27039834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.788463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17967 KachelY 52463 -1.41902810 -1.27039834 -81.304321 -72.788463
    Oben rechts KachelX + 1 17968 KachelY 52463 -1.41893223 -1.27039834 -81.298828 -72.788463
    Unten links KachelX 17967 KachelY + 1 52464 -1.41902810 -1.27042670 -81.304321 -72.790088
    Unten rechts KachelX + 1 17968 KachelY + 1 52464 -1.41893223 -1.27042670 -81.298828 -72.790088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27039834--1.27042670) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dl = 180.681559999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27039834--1.27042670) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dr = 180.681559999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41902810--1.41893223) × cos(-1.27039834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295900394554419 × 6371000     		do = 180.73234213201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41902810--1.41893223) × cos(-1.27042670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295873304430251 × 6371000     		du = 180.71579581548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27039834)-sin(-1.27042670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295900394554419-0.295873304430251)×R²
    abs(-1.41893223--1.41902810)×2.70901241684607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70901241684607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70901241684607e-05×40589641000000     		ar = 32653.5067137694m²