Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17967 / 23873
↖ ↑ ↗
← S 63.238575°
E 17.391358°		 ← 550.08 m → S 63.238575°
E 17.402344°		 →
↑
550.07 m
↓
↑
550.07 m
↓
S 63.243521°
E 17.391358°		 ← 549.98 m →
302 555 m²		 S 63.243521°
E 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548324584960938 y=0.728561401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548324584960938 × 215)
    floor (0.548324584960938 × 32768)
    floor (17967.5)     		tx = 17967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728561401367188 × 215)
    floor (0.728561401367188 × 32768)
    floor (23873.5)     		ty = 23873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17967 / 23873 ti = "15/17967/23873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17967/23873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17967 ÷ 215
    17967 ÷ 32768     		x = 0.548309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23873 ÷ 215
    23873 ÷ 32768     		y = 0.728546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548309326171875 × 2 - 1) × π
    0.09661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30353645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.45709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4359977650184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30353645} λ = 0.30353645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4359977650184))-π/2
    2×atan(0.237877899320812)-π/2
    2×0.233537491830035-π/2
    0.46707498366007-1.57079632675     		φ = -1.10372134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30353645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.391358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10372134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.238575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17967 KachelY 23873 0.30353645 -1.10372134 17.391358 -63.238575
    Oben rechts KachelX + 1 17968 KachelY 23873 0.30372820 -1.10372134 17.402344 -63.238575
    Unten links KachelX 17967 KachelY + 1 23874 0.30353645 -1.10380768 17.391358 -63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 17968 KachelY + 1 23874 0.30372820 -1.10380768 17.402344 -63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10372134--1.10380768) × R
    8.63399999999626e-05 × 6371000     		dl = 550.072139999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10372134--1.10380768) × R
    8.63399999999626e-05 × 6371000     		dr = 550.072139999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30353645-0.30372820) × cos(-1.10372134) × R
    0.000191749999999991 × 0.450276502702783 × 6371000     		do = 550.075449054424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30353645-0.30372820) × cos(-1.10380768) × R
    0.000191749999999991 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 549.981268328886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10372134)-sin(-1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450276502702783-0.450199408973568)×R²
    abs(0.30372820-0.30353645)×7.70937292151053e-05×R²
    0.000191749999999991×7.70937292151053e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.70937292151053e-05×40589641000000     		ar = 302555.276514126m²