Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17961 / 52216
↖ ↑ ↗
← S 72.382410°
W 81.337281°		 ← 184.88 m → S 72.382410°
W 81.331787°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
S 72.384072°
W 81.337281°		 ← 184.86 m →
34 181 m²		 S 72.384072°
W 81.331787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274070739746094 y=0.796760559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274070739746094 × 216)
    floor (0.274070739746094 × 65536)
    floor (17961.5)     		tx = 17961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796760559082031 × 216)
    floor (0.796760559082031 × 65536)
    floor (52216.5)     		ty = 52216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17961 / 52216 ti = "16/17961/52216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17961/52216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17961 ÷ 216
    17961 ÷ 65536     		x = 0.274063110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52216 ÷ 216
    52216 ÷ 65536     		y = 0.7967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274063110351562 × 2 - 1) × π
    -0.451873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41960335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8645536476217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41960335} λ = -1.41960335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8645536476217))-π/2
    2×atan(0.154965363608895)-π/2
    2×0.15374247616728-π/2
    0.307484952334559-1.57079632675     		φ = -1.26331137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41960335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.337281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26331137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.382410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17961 KachelY 52216 -1.41960335 -1.26331137 -81.337281 -72.382410
    Oben rechts KachelX + 1 17962 KachelY 52216 -1.41950747 -1.26331137 -81.331787 -72.382410
    Unten links KachelX 17961 KachelY + 1 52217 -1.41960335 -1.26334039 -81.337281 -72.384072
    Unten rechts KachelX + 1 17962 KachelY + 1 52217 -1.41950747 -1.26334039 -81.331787 -72.384072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26331137--1.26334039) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26331137--1.26334039) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41960335--1.41950747) × cos(-1.26331137) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.302662514079688 × 6371000     		do = 184.881844665977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41960335--1.41950747) × cos(-1.26334039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3026348550543 × 6371000     		du = 184.864949109384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26331137)-sin(-1.26334039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302662514079688-0.3026348550543)×R²
    abs(-1.41950747--1.41960335)×2.76590253872611e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.76590253872611e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.76590253872611e-05×40589641000000     		ar = 34180.5805062018m²