Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17960 / 52213
↖ ↑ ↗
← S 72.377422°
W 81.342773°		 ← 184.91 m → S 72.377422°
W 81.337281°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
S 72.379084°
W 81.342773°		 ← 184.90 m →
34 186 m²		 S 72.379084°
W 81.337281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274055480957031 y=0.796714782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274055480957031 × 216)
    floor (0.274055480957031 × 65536)
    floor (17960.5)     		tx = 17960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796714782714844 × 216)
    floor (0.796714782714844 × 65536)
    floor (52213.5)     		ty = 52213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17960 / 52213 ti = "16/17960/52213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17960/52213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17960 ÷ 216
    17960 ÷ 65536     		x = 0.2740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52213 ÷ 216
    52213 ÷ 65536     		y = 0.796707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41969922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796707153320312 × 2 - 1) × π
    -0.593414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86426602622398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41969922} λ = -1.41969922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86426602622398))-π/2
    2×atan(0.155009941373826)-π/2
    2×0.153786008240762-π/2
    0.307572016481523-1.57079632675     		φ = -1.26322431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41969922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.342773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26322431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.377422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17960 KachelY 52213 -1.41969922 -1.26322431 -81.342773 -72.377422
    Oben rechts KachelX + 1 17961 KachelY 52213 -1.41960335 -1.26322431 -81.337281 -72.377422
    Unten links KachelX 17960 KachelY + 1 52214 -1.41969922 -1.26325333 -81.342773 -72.379084
    Unten rechts KachelX + 1 17961 KachelY + 1 52214 -1.41960335 -1.26325333 -81.337281 -72.379084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26322431--1.26325333) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26322431--1.26325333) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41969922--1.41960335) × cos(-1.26322431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302745489626414 × 6371000     		do = 184.913242486472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41969922--1.41960335) × cos(-1.26325333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302717831365768 × 6371000     		du = 184.896349159129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26322431)-sin(-1.26325333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302745489626414-0.302717831365768)×R²
    abs(-1.41960335--1.41969922)×2.76582606462128e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76582606462128e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76582606462128e-05×40589641000000     		ar = 34186.3857426099m²