Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17953 / 12767
↖ ↑ ↗
← N 80.887194°
W130.690613°		 ← 48.36 m → N 80.887194°
W130.687866°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.886759°
W130.690613°		 ← 48.37 m →
2 339 m²		 N 80.886759°
W130.687866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136974334716797 y=0.0974082946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136974334716797 × 217)
    floor (0.136974334716797 × 131072)
    floor (17953.5)     		tx = 17953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0974082946777344 × 217)
    floor (0.0974082946777344 × 131072)
    floor (12767.5)     		ty = 12767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17953 / 12767 ti = "17/17953/12767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17953/12767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17953 ÷ 217
    17953 ÷ 131072     		x = 0.136970520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12767 ÷ 217
    12767 ÷ 131072     		y = 0.0974044799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136970520019531 × 2 - 1) × π
    -0.726058959960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.28098149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0974044799804688 × 2 - 1) × π
    0.805191040039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52958225605074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28098149} λ = -2.28098149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52958225605074))-π/2
    2×atan(12.5482630806414)-π/2
    2×1.49127208751084-π/2
    2.98254417502167-1.57079632675     		φ = 1.41174785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28098149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.690613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41174785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.887194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17953 KachelY 12767 -2.28098149 1.41174785 -130.690613 80.887194
    Oben rechts KachelX + 1 17954 KachelY 12767 -2.28093356 1.41174785 -130.687866 80.887194
    Unten links KachelX 17953 KachelY + 1 12768 -2.28098149 1.41174026 -130.690613 80.886759
    Unten rechts KachelX + 1 17954 KachelY + 1 12768 -2.28093356 1.41174026 -130.687866 80.886759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41174785-1.41174026) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41174785-1.41174026) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28098149--2.28093356) × cos(1.41174785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158378764964092 × 6371000     		do = 48.3628611783578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28098149--2.28093356) × cos(1.41174026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		du = 48.3651496217906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41174785)-sin(1.41174026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158378764964092-0.158386259161825)×R²
    abs(-2.28093356--2.28098149)×7.49419773241056e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.49419773241056e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.49419773241056e-06×40589641000000     		ar = 2338.68452516169m²