Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17951 / 23954
↖ ↑ ↗
← S 63.636503°
E 17.215576°		 ← 542.46 m → S 63.636503°
E 17.226562°		 →
↑
542.43 m
↓
↑
542.43 m
↓
S 63.641382°
E 17.215576°		 ← 542.37 m →
294 219 m²		 S 63.641382°
E 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547836303710938 y=0.731033325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547836303710938 × 215)
    floor (0.547836303710938 × 32768)
    floor (17951.5)     		tx = 17951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731033325195312 × 215)
    floor (0.731033325195312 × 32768)
    floor (23954.5)     		ty = 23954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17951 / 23954 ti = "15/17951/23954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17951/23954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17951 ÷ 215
    17951 ÷ 32768     		x = 0.547821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23954 ÷ 215
    23954 ÷ 32768     		y = 0.73101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547821044921875 × 2 - 1) × π
    0.09564208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30046849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4515293204953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30046849} λ = 0.30046849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4515293204953))-π/2
    2×atan(0.234211829113824)-π/2
    2×0.230064907301342-π/2
    0.460129814602683-1.57079632675     		φ = -1.11066651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30046849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.215576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11066651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.636503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17951 KachelY 23954 0.30046849 -1.11066651 17.215576 -63.636503
    Oben rechts KachelX + 1 17952 KachelY 23954 0.30066023 -1.11066651 17.226562 -63.636503
    Unten links KachelX 17951 KachelY + 1 23955 0.30046849 -1.11075165 17.215576 -63.641382
    Unten rechts KachelX + 1 17952 KachelY + 1 23955 0.30066023 -1.11075165 17.226562 -63.641382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11066651--1.11075165) × R
    8.51400000001501e-05 × 6371000     		dl = 542.426940000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11066651--1.11075165) × R
    8.51400000001501e-05 × 6371000     		dr = 542.426940000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30046849-0.30066023) × cos(-1.11066651) × R
    0.000191739999999996 × 0.444064425887685 × 6371000     		do = 542.458240848527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30046849-0.30066023) × cos(-1.11075165) × R
    0.000191739999999996 × 0.443988139276091 × 6371000     		du = 542.365050989774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11066651)-sin(-1.11075165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444064425887685-0.443988139276091)×R²
    abs(0.30066023-0.30046849)×7.62866115942562e-05×R²
    0.000191739999999996×7.62866115942562e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.62866115942562e-05×40589641000000     		ar = 294218.68949466m²