Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17951 / 13844
↖ ↑ ↗
← N 80.406557°
W130.696106°		 ← 50.90 m → N 80.406557°
W130.693359°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.406099°
W130.696106°		 ← 50.90 m →
2 591 m²		 N 80.406099°
W130.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136959075927734 y=0.105625152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136959075927734 × 217)
    floor (0.136959075927734 × 131072)
    floor (17951.5)     		tx = 17951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105625152587891 × 217)
    floor (0.105625152587891 × 131072)
    floor (13844.5)     		ty = 13844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17951 / 13844 ti = "17/17951/13844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17951/13844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17951 ÷ 217
    17951 ÷ 131072     		x = 0.136955261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13844 ÷ 217
    13844 ÷ 131072     		y = 0.105621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136955261230469 × 2 - 1) × π
    -0.726089477539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.28107737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105621337890625 × 2 - 1) × π
    0.78875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47795421515994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28107737} λ = -2.28107737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47795421515994))-π/2
    2×atan(11.9168601316028)-π/2
    2×1.4870777440815-π/2
    2.974155488163-1.57079632675     		φ = 1.40335916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28107737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.696106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40335916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.406557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17951 KachelY 13844 -2.28107737 1.40335916 -130.696106 80.406557
    Oben rechts KachelX + 1 17952 KachelY 13844 -2.28102943 1.40335916 -130.693359 80.406557
    Unten links KachelX 17951 KachelY + 1 13845 -2.28107737 1.40335117 -130.696106 80.406099
    Unten rechts KachelX + 1 17952 KachelY + 1 13845 -2.28102943 1.40335117 -130.693359 80.406099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40335916-1.40335117) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40335916-1.40335117) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28107737--2.28102943) × cos(1.40335916) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166655906860793 × 6371000     		do = 50.901003678767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28107737--2.28102943) × cos(1.40335117) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166663785116249 × 6371000     		du = 50.9034099007696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40335916)-sin(1.40335117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166655906860793-0.166663785116249)×R²
    abs(-2.28102943--2.28107737)×7.87825545583987e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.87825545583987e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.87825545583987e-06×40589641000000     		ar = 2591.14069601046m²