Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 1795 / 2284
↖ ↑ ↗
← N 78.152551°
W140.559082°		 ← 501.61 m → N 78.152551°
W140.537109°		 →
↑
501.72 m
↓
↑
501.72 m
↓
N 78.148039°
W140.559082°		 ← 501.80 m →
251 712 m²		 N 78.148039°
W140.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109588623046875 y=0.139434814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109588623046875 × 214)
    floor (0.109588623046875 × 16384)
    floor (1795.5)     		tx = 1795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139434814453125 × 214)
    floor (0.139434814453125 × 16384)
    floor (2284.5)     		ty = 2284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1795 / 2284 ti = "14/1795/2284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1795/2284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1795 ÷ 214
    1795 ÷ 16384     		x = 0.10955810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2284 ÷ 214
    2284 ÷ 16384     		y = 0.139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.7808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45321877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    0.72119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26568962364233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45321877} λ = -2.45321877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26568962364233))-π/2
    2×atan(9.63776874305284)-π/2
    2×1.46740783256436-π/2
    2.93481566512873-1.57079632675     		φ = 1.36401934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45321877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36401934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1795 KachelY 2284 -2.45321877 1.36401934 -140.559082 78.152551
    Oben rechts KachelX + 1 1796 KachelY 2284 -2.45283528 1.36401934 -140.537109 78.152551
    Unten links KachelX 1795 KachelY + 1 2285 -2.45321877 1.36394059 -140.559082 78.148039
    Unten rechts KachelX + 1 1796 KachelY + 1 2285 -2.45283528 1.36394059 -140.537109 78.148039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36401934-1.36394059) × R
    7.87500000001273e-05 × 6371000     		dl = 501.716250000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36401934-1.36394059) × R
    7.87500000001273e-05 × 6371000     		dr = 501.716250000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45321877--2.45283528) × cos(1.36401934) × R
    0.000383489999999931 × 0.205306616029956 × 6371000     		do = 501.608160769149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45321877--2.45283528) × cos(1.36394059) × R
    0.000383489999999931 × 0.205383687837359 × 6371000     		du = 501.796463748888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36401934)-sin(1.36394059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205306616029956-0.205383687837359)×R²
    abs(-2.45283528--2.45321877)×7.70718074029897e-05×R²
    0.000383489999999931×7.70718074029897e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.70718074029897e-05×40589641000000     		ar = 251712.202853236m²