Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1795 / 1331
↖ ↑ ↗
← N 53.173119°
W 22.236328°		 ← 5 857.92 m → N 53.173119°
W 22.148438°		 →
↑
5 861.51 m
↓
↑
5 861.51 m
↓
N 53.120405°
W 22.236328°		 ← 5 865.12 m →
34 357 354 m²		 N 53.120405°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4383544921875 y=0.3250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4383544921875 × 212)
    floor (0.4383544921875 × 4096)
    floor (1795.5)     		tx = 1795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3250732421875 × 212)
    floor (0.3250732421875 × 4096)
    floor (1331.5)     		ty = 1331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1795 / 1331 ti = "12/1795/1331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1795/1331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1795 ÷ 212
    1795 ÷ 4096     		x = 0.438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1331 ÷ 212
    1331 ÷ 4096     		y = 0.324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324951171875 × 2 - 1) × π
    0.35009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09986422488257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38809714} λ = -0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09986422488257))-π/2
    2×atan(3.00375816064122)-π/2
    2×1.24942116520878-π/2
    2.49884233041755-1.57079632675     		φ = 0.92804600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92804600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.173119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1795 KachelY 1331 -0.38809714 0.92804600 -22.236328 53.173119
    Oben rechts KachelX + 1 1796 KachelY 1331 -0.38656316 0.92804600 -22.148438 53.173119
    Unten links KachelX 1795 KachelY + 1 1332 -0.38809714 0.92712597 -22.236328 53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 1796 KachelY + 1 1332 -0.38656316 0.92712597 -22.148438 53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92804600-0.92712597) × R
    0.000920030000000072 × 6371000     		dl = 5861.51113000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92804600-0.92712597) × R
    0.000920030000000072 × 6371000     		dr = 5861.51113000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38809714--0.38656316) × cos(0.92804600) × R
    0.00153397999999999 × 0.599399205355641 × 6371000     		do = 5857.92039000331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38809714--0.38656316) × cos(0.92712597) × R
    0.00153397999999999 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 5865.11511076858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92804600)-sin(0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599399205355641-0.600135389807178)×R²
    abs(-0.38656316--0.38809714)×0.000736184451536559×R²
    0.00153397999999999×0.000736184451536559×6371000²
    0.00153397999999999×0.000736184451536559×40589641000000     		ar = 34357353.9560785m²