Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17949 / 13845
↖ ↑ ↗
← N 80.406099°
W130.701599°		 ← 50.89 m → N 80.406099°
W130.698853°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.405641°
W130.701599°		 ← 50.90 m →
2 591 m²		 N 80.405641°
W130.698853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136943817138672 y=0.105632781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136943817138672 × 217)
    floor (0.136943817138672 × 131072)
    floor (17949.5)     		tx = 17949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105632781982422 × 217)
    floor (0.105632781982422 × 131072)
    floor (13845.5)     		ty = 13845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17949 / 13845 ti = "17/17949/13845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17949/13845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17949 ÷ 217
    17949 ÷ 131072     		x = 0.136940002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13845 ÷ 217
    13845 ÷ 131072     		y = 0.105628967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136940002441406 × 2 - 1) × π
    -0.726119995117188 × 3.1415926535     		Λ = -2.28117324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105628967285156 × 2 - 1) × π
    0.788742065429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47790627826032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28117324} λ = -2.28117324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47790627826032))-π/2
    2×atan(11.9162888879669)-π/2
    2×1.48707374950339-π/2
    2.97414749900678-1.57079632675     		φ = 1.40335117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28117324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.701599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40335117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.406099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17949 KachelY 13845 -2.28117324 1.40335117 -130.701599 80.406099
    Oben rechts KachelX + 1 17950 KachelY 13845 -2.28112531 1.40335117 -130.698853 80.406099
    Unten links KachelX 17949 KachelY + 1 13846 -2.28117324 1.40334318 -130.701599 80.405641
    Unten rechts KachelX + 1 17950 KachelY + 1 13846 -2.28112531 1.40334318 -130.698853 80.405641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40335117-1.40334318) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40335117-1.40334318) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28117324--2.28112531) × cos(1.40335117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166663785116249 × 6371000     		do = 50.8927917506128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28117324--2.28112531) × cos(1.40334318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166671663361065 × 6371000     		du = 50.8951974674427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40335117)-sin(1.40334318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166663785116249-0.166671663361065)×R²
    abs(-2.28112531--2.28117324)×7.8782448162118e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.8782448162118e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.8782448162118e-06×40589641000000     		ar = 2590.7226609662m²