Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17945 / 23867
↖ ↑ ↗
← S 63.208878°
E 17.149658°		 ← 550.64 m → S 63.208878°
E 17.160645°		 →
↑
550.58 m
↓
↑
550.58 m
↓
S 63.213830°
E 17.149658°		 ← 550.55 m →
303 147 m²		 S 63.213830°
E 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547653198242188 y=0.728378295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547653198242188 × 215)
    floor (0.547653198242188 × 32768)
    floor (17945.5)     		tx = 17945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728378295898438 × 215)
    floor (0.728378295898438 × 32768)
    floor (23867.5)     		ty = 23867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17945 / 23867 ti = "15/17945/23867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17945/23867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17945 ÷ 215
    17945 ÷ 32768     		x = 0.547637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23867 ÷ 215
    23867 ÷ 32768     		y = 0.728363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547637939453125 × 2 - 1) × π
    0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.45672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43484727942752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29931800} λ = 0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43484727942752))-π/2
    2×atan(0.238151731906387)-π/2
    2×0.233796643215602-π/2
    0.467593286431204-1.57079632675     		φ = -1.10320304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10320304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.208878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17945 KachelY 23867 0.29931800 -1.10320304 17.149658 -63.208878
    Oben rechts KachelX + 1 17946 KachelY 23867 0.29950975 -1.10320304 17.160645 -63.208878
    Unten links KachelX 17945 KachelY + 1 23868 0.29931800 -1.10328946 17.149658 -63.213830
    Unten rechts KachelX + 1 17946 KachelY + 1 23868 0.29950975 -1.10328946 17.160645 -63.213830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10320304--1.10328946) × R
    8.64200000001425e-05 × 6371000     		dl = 550.581820000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10320304--1.10328946) × R
    8.64200000001425e-05 × 6371000     		dr = 550.581820000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29931800-0.29950975) × cos(-1.10320304) × R
    0.000191750000000046 × 0.450739226659237 × 6371000     		do = 550.640730801703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29931800-0.29950975) × cos(-1.10328946) × R
    0.000191750000000046 × 0.450662081672966 × 6371000     		du = 550.546487458534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10320304)-sin(-1.10328946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450739226659237-0.450662081672966)×R²
    abs(0.29950975-0.29931800)×7.71449862710383e-05×R²
    0.000191750000000046×7.71449862710383e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.71449862710383e-05×40589641000000     		ar = 303146.831584772m²