Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17942 / 23861
↖ ↑ ↗
← S 63.179151°
E 17.116699°		 ← 551.21 m → S 63.179151°
E 17.127686°		 →
↑
551.16 m
↓
↑
551.16 m
↓
S 63.184107°
E 17.116699°		 ← 551.11 m →
303 774 m²		 S 63.184107°
E 17.127686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547561645507812 y=0.728195190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547561645507812 × 215)
    floor (0.547561645507812 × 32768)
    floor (17942.5)     		tx = 17942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728195190429688 × 215)
    floor (0.728195190429688 × 32768)
    floor (23861.5)     		ty = 23861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17942 / 23861 ti = "15/17942/23861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17942/23861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17942 ÷ 215
    17942 ÷ 32768     		x = 0.54754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23861 ÷ 215
    23861 ÷ 32768     		y = 0.728179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54754638671875 × 2 - 1) × π
    0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.45635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43369679383664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29874276} λ = 0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43369679383664))-π/2
    2×atan(0.238425879713701)-π/2
    2×0.234056060883092-π/2
    0.468112121766185-1.57079632675     		φ = -1.10268420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10268420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.179151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17942 KachelY 23861 0.29874276 -1.10268420 17.116699 -63.179151
    Oben rechts KachelX + 1 17943 KachelY 23861 0.29893451 -1.10268420 17.127686 -63.179151
    Unten links KachelX 17942 KachelY + 1 23862 0.29874276 -1.10277071 17.116699 -63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 17943 KachelY + 1 23862 0.29893451 -1.10277071 17.127686 -63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10268420--1.10277071) × R
    8.65100000000396e-05 × 6371000     		dl = 551.155210000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10268420--1.10277071) × R
    8.65100000000396e-05 × 6371000     		dr = 551.155210000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29874276-0.29893451) × cos(-1.10268420) × R
    0.000191749999999991 × 0.451202311439191 × 6371000     		do = 551.206453344812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29874276-0.29893451) × cos(-1.10277071) × R
    0.000191749999999991 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 551.112136578075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10268420)-sin(-1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451202311439191-0.451125106350424)×R²
    abs(0.29893451-0.29874276)×7.72050887665743e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72050887665743e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72050887665743e-05×40589641000000     		ar = 303774.317146725m²