Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17942 / 10777
↖ ↑ ↗
← N 76.152165°
W 81.441651°		 ← 146.20 m → N 76.152165°
W 81.436157°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 76.150850°
W 81.441651°		 ← 146.22 m →
21 378 m²		 N 76.150850°
W 81.436157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273780822753906 y=0.164451599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273780822753906 × 216)
    floor (0.273780822753906 × 65536)
    floor (17942.5)     		tx = 17942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164451599121094 × 216)
    floor (0.164451599121094 × 65536)
    floor (10777.5)     		ty = 10777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17942 / 10777 ti = "16/17942/10777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17942/10777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17942 ÷ 216
    17942 ÷ 65536     		x = 0.273773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10777 ÷ 216
    10777 ÷ 65536     		y = 0.164443969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.45245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42142495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164443969726562 × 2 - 1) × π
    0.671112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10836071908931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42142495} λ = -1.42142495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10836071908931))-π/2
    2×atan(8.23473117659851)-π/2
    2×1.44995116719018-π/2
    2.89990233438036-1.57079632675     		φ = 1.32910601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42142495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.441651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32910601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.152165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17942 KachelY 10777 -1.42142495 1.32910601 -81.441651 76.152165
    Oben rechts KachelX + 1 17943 KachelY 10777 -1.42132907 1.32910601 -81.436157 76.152165
    Unten links KachelX 17942 KachelY + 1 10778 -1.42142495 1.32908306 -81.441651 76.150850
    Unten rechts KachelX + 1 17943 KachelY + 1 10778 -1.42132907 1.32908306 -81.436157 76.150850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32910601-1.32908306) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32910601-1.32908306) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42142495--1.42132907) × cos(1.32910601) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239344154959269 × 6371000     		do = 146.203731286123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42142495--1.42132907) × cos(1.32908306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239366437849773 × 6371000     		du = 146.217342822766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32910601)-sin(1.32908306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239344154959269-0.239366437849773)×R²
    abs(-1.42132907--1.42142495)×2.22828905039607e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22828905039607e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22828905039607e-05×40589641000000     		ar = 21378.0932606261m²