Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17936 / 13490
↖ ↑ ↗
← N 80.567246°
W130.737305°		 ← 50.05 m → N 80.567246°
W130.734558°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.566797°
W130.737305°		 ← 50.05 m →
2 503 m²		 N 80.566797°
W130.734558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136844635009766 y=0.102924346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136844635009766 × 217)
    floor (0.136844635009766 × 131072)
    floor (17936.5)     		tx = 17936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102924346923828 × 217)
    floor (0.102924346923828 × 131072)
    floor (13490.5)     		ty = 13490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17936 / 13490 ti = "17/17936/13490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17936/13490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17936 ÷ 217
    17936 ÷ 131072     		x = 0.1368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13490 ÷ 217
    13490 ÷ 131072     		y = 0.102920532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.28179642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102920532226562 × 2 - 1) × π
    0.794158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49492387762544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28179642} λ = -2.28179642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49492387762544))-π/2
    2×atan(12.1208108185698)-π/2
    2×1.48848002501259-π/2
    2.97696005002517-1.57079632675     		φ = 1.40616372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28179642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.737305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40616372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.567246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17936 KachelY 13490 -2.28179642 1.40616372 -130.737305 80.567246
    Oben rechts KachelX + 1 17937 KachelY 13490 -2.28174849 1.40616372 -130.734558 80.567246
    Unten links KachelX 17936 KachelY + 1 13491 -2.28179642 1.40615587 -130.737305 80.566797
    Unten rechts KachelX + 1 17937 KachelY + 1 13491 -2.28174849 1.40615587 -130.734558 80.566797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40616372-1.40615587) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dl = 50.0123499987857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40616372-1.40615587) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dr = 50.0123499987857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28179642--2.28174849) × cos(1.40616372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163889916512284 × 6371000     		do = 50.0457576027522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28179642--2.28174849) × cos(1.40615587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163897660364511 × 6371000     		du = 50.0481222811881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40616372)-sin(1.40615587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163889916512284-0.163897660364511)×R²
    abs(-2.28174849--2.28179642)×7.74385222668261e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.74385222668261e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.74385222668261e-06×40589641000000     		ar = 2502.96507696441m²