Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17928 / 23870
↖ ↑ ↗
← S 63.223730°
E 16.962891°		 ← 550.36 m → S 63.223730°
E 16.973877°		 →
↑
550.26 m
↓
↑
550.26 m
↓
S 63.228679°
E 16.962891°		 ← 550.26 m →
302 816 m²		 S 63.228679°
E 16.973877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547134399414062 y=0.728469848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547134399414062 × 215)
    floor (0.547134399414062 × 32768)
    floor (17928.5)     		tx = 17928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728469848632812 × 215)
    floor (0.728469848632812 × 32768)
    floor (23870.5)     		ty = 23870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17928 / 23870 ti = "15/17928/23870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17928/23870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17928 ÷ 215
    17928 ÷ 32768     		x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23870 ÷ 215
    23870 ÷ 32768     		y = 0.72845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.4569091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43542252222296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43542252222296))-π/2
    2×atan(0.238014776233545)-π/2
    2×0.233667034250313-π/2
    0.467334068500625-1.57079632675     		φ = -1.10346226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10346226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.223730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17928 KachelY 23870 0.29605829 -1.10346226 16.962891 -63.223730
    Oben rechts KachelX + 1 17929 KachelY 23870 0.29625004 -1.10346226 16.973877 -63.223730
    Unten links KachelX 17928 KachelY + 1 23871 0.29605829 -1.10354863 16.962891 -63.228679
    Unten rechts KachelX + 1 17929 KachelY + 1 23871 0.29625004 -1.10354863 16.973877 -63.228679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10346226--1.10354863) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dl = 550.263270000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10346226--1.10354863) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dr = 550.263270000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29625004) × cos(-1.10346226) × R
    0.000191749999999991 × 0.450507817314704 × 6371000     		do = 550.358032063445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29625004) × cos(-1.10354863) × R
    0.000191749999999991 × 0.450430706875093 × 6371000     		du = 550.263830923831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10346226)-sin(-1.10354863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450507817314704-0.450430706875093)×R²
    abs(0.29625004-0.29605829)×7.71104396113942e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71104396113942e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71104396113942e-05×40589641000000     		ar = 302815.892869139m²