Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17927 / 23885
↖ ↑ ↗
← S 63.297876°
E 16.951904°		 ← 548.95 m → S 63.297876°
E 16.962891°		 →
↑
548.93 m
↓
↑
548.93 m
↓
S 63.302813°
E 16.951904°		 ← 548.85 m →
301 305 m²		 S 63.302813°
E 16.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547103881835938 y=0.728927612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547103881835938 × 215)
    floor (0.547103881835938 × 32768)
    floor (17927.5)     		tx = 17927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728927612304688 × 215)
    floor (0.728927612304688 × 32768)
    floor (23885.5)     		ty = 23885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17927 / 23885 ti = "15/17927/23885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17927/23885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17927 ÷ 215
    17927 ÷ 32768     		x = 0.547088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23885 ÷ 215
    23885 ÷ 32768     		y = 0.728912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547088623046875 × 2 - 1) × π
    0.09417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29586654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.45782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43829873620016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29586654} λ = 0.29586654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43829873620016))-π/2
    2×atan(0.237331178365494)-π/2
    2×0.23301998708947-π/2
    0.46603997417894-1.57079632675     		φ = -1.10475635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29586654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.951904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10475635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.297876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17927 KachelY 23885 0.29586654 -1.10475635 16.951904 -63.297876
    Oben rechts KachelX + 1 17928 KachelY 23885 0.29605829 -1.10475635 16.962891 -63.297876
    Unten links KachelX 17927 KachelY + 1 23886 0.29586654 -1.10484251 16.951904 -63.302813
    Unten rechts KachelX + 1 17928 KachelY + 1 23886 0.29605829 -1.10484251 16.962891 -63.302813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10475635--1.10484251) × R
    8.61600000001683e-05 × 6371000     		dl = 548.925360001072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10475635--1.10484251) × R
    8.61600000001683e-05 × 6371000     		dr = 548.925360001072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29586654-0.29605829) × cos(-1.10475635) × R
    0.000191749999999991 × 0.449352112468876 × 6371000     		do = 548.946177662366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29586654-0.29605829) × cos(-1.10484251) × R
    0.000191749999999991 × 0.449275139357281 × 6371000     		du = 548.852144288047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10475635)-sin(-1.10484251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449352112468876-0.449275139357281)×R²
    abs(0.29605829-0.29586654)×7.69731115953798e-05×R²
    0.000191749999999991×7.69731115953798e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.69731115953798e-05×40589641000000     		ar = 301304.669729184m²