Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17927 / 15848
↖ ↑ ↗
← N  5.878332°
E 16.951904°		 ← 1 215.22 m → N  5.878332°
E 16.962891°		 →
↑
1 215.20 m
↓
↑
1 215.20 m
↓
N  5.867404°
E 16.951904°		 ← 1 215.24 m →
1 476 750 m²		 N  5.867404°
E 16.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547103881835938 y=0.483657836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547103881835938 × 215)
    floor (0.547103881835938 × 32768)
    floor (17927.5)     		tx = 17927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.483657836914062 × 215)
    floor (0.483657836914062 × 32768)
    floor (15848.5)     		ty = 15848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17927 / 15848 ti = "15/17927/15848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17927/15848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17927 ÷ 215
    17927 ÷ 32768     		x = 0.547088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15848 ÷ 215
    15848 ÷ 32768     		y = 0.483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547088623046875 × 2 - 1) × π
    0.09417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29586654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.483642578125 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.1027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29586654} λ = 0.29586654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1027767127854))-π/2
    2×atan(1.10824392474794)-π/2
    2×0.836696288315748-π/2
    1.6733925766315-1.57079632675     		φ = 0.10259625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29586654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.951904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10259625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.878332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17927 KachelY 15848 0.29586654 0.10259625 16.951904 5.878332
    Oben rechts KachelX + 1 17928 KachelY 15848 0.29605829 0.10259625 16.962891 5.878332
    Unten links KachelX 17927 KachelY + 1 15849 0.29586654 0.10240551 16.951904 5.867404
    Unten rechts KachelX + 1 17928 KachelY + 1 15849 0.29605829 0.10240551 16.962891 5.867404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10259625-0.10240551) × R
    0.000190739999999995 × 6371000     		dl = 1215.20453999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10259625-0.10240551) × R
    0.000190739999999995 × 6371000     		dr = 1215.20453999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29586654-0.29605829) × cos(0.10259625) × R
    0.000191749999999991 × 0.994741619643338 × 6371000     		do = 1215.21540616481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29586654-0.29605829) × cos(0.10240551) × R
    0.000191749999999991 × 0.994761136443905 × 6371000     		du = 1215.23924865442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10259625)-sin(0.10240551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994741619643338-0.994761136443905)×R²
    abs(0.29605829-0.29586654)×1.95168005668878e-05×R²
    0.000191749999999991×1.95168005668878e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.95168005668878e-05×40589641000000     		ar = 1476749.76987742m²