Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17926 / 13466
↖ ↑ ↗
← N 80.578044°
W130.764770°		 ← 50 m → N 80.578044°
W130.762024°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.577594°
W130.764770°		 ← 50 m →
2 501 m²		 N 80.577594°
W130.762024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136768341064453 y=0.102741241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136768341064453 × 217)
    floor (0.136768341064453 × 131072)
    floor (17926.5)     		tx = 17926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102741241455078 × 217)
    floor (0.102741241455078 × 131072)
    floor (13466.5)     		ty = 13466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17926 / 13466 ti = "17/17926/13466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17926/13466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17926 ÷ 217
    17926 ÷ 131072     		x = 0.136764526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13466 ÷ 217
    13466 ÷ 131072     		y = 0.102737426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136764526367188 × 2 - 1) × π
    -0.726470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28227579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102737426757812 × 2 - 1) × π
    0.794525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49607436321632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28227579} λ = -2.28227579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49607436321632))-π/2
    2×atan(12.1347636614997)-π/2
    2×1.48857424802556-π/2
    2.97714849605113-1.57079632675     		φ = 1.40635217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28227579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.764770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40635217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.578044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17926 KachelY 13466 -2.28227579 1.40635217 -130.764770 80.578044
    Oben rechts KachelX + 1 17927 KachelY 13466 -2.28222785 1.40635217 -130.762024 80.578044
    Unten links KachelX 17926 KachelY + 1 13467 -2.28227579 1.40634432 -130.764770 80.577594
    Unten rechts KachelX + 1 17927 KachelY + 1 13467 -2.28222785 1.40634432 -130.762024 80.577594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40635217-1.40634432) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dl = 50.0123499987857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40635217-1.40634432) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dr = 50.0123499987857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28227579--2.28222785) × cos(1.40635217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16370401170467 × 6371000     		do = 49.9994189158346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28227579--2.28222785) × cos(1.40634432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163711755799212 × 6371000     		du = 50.0017841616409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40635217)-sin(1.40634432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16370401170467-0.163711755799212)×R²
    abs(-2.28222785--2.28227579)×7.74409454259994e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74409454259994e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74409454259994e-06×40589641000000     		ar = 2500.6475843817m²