Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17925 / 23871
↖ ↑ ↗
← S 63.228679°
E 16.929932°		 ← 550.26 m → S 63.228679°
E 16.940918°		 →
↑
550.26 m
↓
↑
550.26 m
↓
S 63.233628°
E 16.929932°		 ← 550.17 m →
302 764 m²		 S 63.233628°
E 16.940918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547042846679688 y=0.728500366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547042846679688 × 215)
    floor (0.547042846679688 × 32768)
    floor (17925.5)     		tx = 17925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728500366210938 × 215)
    floor (0.728500366210938 × 32768)
    floor (23871.5)     		ty = 23871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17925 / 23871 ti = "15/17925/23871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17925/23871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17925 ÷ 215
    17925 ÷ 32768     		x = 0.547027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23871 ÷ 215
    23871 ÷ 32768     		y = 0.728485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547027587890625 × 2 - 1) × π
    0.09405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29548305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.45697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43561426982144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29548305} λ = 0.29548305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43561426982144))-π/2
    2×atan(0.237969141847081)-π/2
    2×0.233623846050921-π/2
    0.467247692101842-1.57079632675     		φ = -1.10354863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29548305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.929932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10354863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.228679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17925 KachelY 23871 0.29548305 -1.10354863 16.929932 -63.228679
    Oben rechts KachelX + 1 17926 KachelY 23871 0.29567480 -1.10354863 16.940918 -63.228679
    Unten links KachelX 17925 KachelY + 1 23872 0.29548305 -1.10363500 16.929932 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 17926 KachelY + 1 23872 0.29567480 -1.10363500 16.940918 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10354863--1.10363500) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dl = 550.263270000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10354863--1.10363500) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dr = 550.263270000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29548305-0.29567480) × cos(-1.10354863) × R
    0.000191749999999991 × 0.450430706875093 × 6371000     		do = 550.263830923831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29548305-0.29567480) × cos(-1.10363500) × R
    0.000191749999999991 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 550.169625679372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10354863)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450430706875093-0.450353593075369)×R²
    abs(0.29567480-0.29548305)×7.71137997239157e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71137997239157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71137997239157e-05×40589641000000     		ar = 302764.056312013m²