Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17924 / 23876
↖ ↑ ↗
← S 63.253411°
E 16.918945°		 ← 549.79 m → S 63.253411°
E 16.929932°		 →
↑
549.75 m
↓
↑
549.75 m
↓
S 63.258355°
E 16.918945°		 ← 549.70 m →
302 225 m²		 S 63.258355°
E 16.929932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547012329101562 y=0.728652954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547012329101562 × 215)
    floor (0.547012329101562 × 32768)
    floor (17924.5)     		tx = 17924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728652954101562 × 215)
    floor (0.728652954101562 × 32768)
    floor (23876.5)     		ty = 23876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17924 / 23876 ti = "15/17924/23876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17924/23876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17924 ÷ 215
    17924 ÷ 32768     		x = 0.5469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23876 ÷ 215
    23876 ÷ 32768     		y = 0.7286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5469970703125 × 2 - 1) × π
    0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43657300781384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29529130} λ = 0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43657300781384))-π/2
    2×atan(0.237741101122894)-π/2
    2×0.233408015929294-π/2
    0.466816031858589-1.57079632675     		φ = -1.10398029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10398029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.253411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17924 KachelY 23876 0.29529130 -1.10398029 16.918945 -63.253411
    Oben rechts KachelX + 1 17925 KachelY 23876 0.29548305 -1.10398029 16.929932 -63.253411
    Unten links KachelX 17924 KachelY + 1 23877 0.29529130 -1.10406658 16.918945 -63.258355
    Unten rechts KachelX + 1 17925 KachelY + 1 23877 0.29548305 -1.10406658 16.929932 -63.258355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10398029--1.10406658) × R
    8.62900000000444e-05 × 6371000     		dl = 549.753590000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10398029--1.10406658) × R
    8.62900000000444e-05 × 6371000     		dr = 549.753590000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29529130-0.29548305) × cos(-1.10398029) × R
    0.000191750000000046 × 0.450045273957952 × 6371000     		do = 549.792970944169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29529130-0.29548305) × cos(-1.10406658) × R
    0.000191750000000046 × 0.449968214817246 × 6371000     		du = 549.698832473311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10398029)-sin(-1.10406658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450045273957952-0.449968214817246)×R²
    abs(0.29548305-0.29529130)×7.70591407057153e-05×R²
    0.000191750000000046×7.70591407057153e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.70591407057153e-05×40589641000000     		ar = 302224.783239808m²