Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17923 / 15770
↖ ↑ ↗
← N  6.730076°
E 16.907959°		 ← 1 213.22 m → N  6.730076°
E 16.918945°		 →
↑
1 213.23 m
↓
↑
1 213.23 m
↓
N  6.719165°
E 16.907959°		 ← 1 213.25 m →
1 471 932 m²		 N  6.719165°
E 16.918945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546981811523438 y=0.481277465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546981811523438 × 215)
    floor (0.546981811523438 × 32768)
    floor (17923.5)     		tx = 17923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481277465820312 × 215)
    floor (0.481277465820312 × 32768)
    floor (15770.5)     		ty = 15770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17923 / 15770 ti = "15/17923/15770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17923/15770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17923 ÷ 215
    17923 ÷ 32768     		x = 0.546966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15770 ÷ 215
    15770 ÷ 32768     		y = 0.48126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546966552734375 × 2 - 1) × π
    0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48126220703125 × 2 - 1) × π
    0.0374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.117733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29509955} λ = 0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117733025466858))-π/2
    2×atan(1.12494373994358)-π/2
    2×0.844129153394548-π/2
    1.6882583067891-1.57079632675     		φ = 0.11746198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11746198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.730076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17923 KachelY 15770 0.29509955 0.11746198 16.907959 6.730076
    Oben rechts KachelX + 1 17924 KachelY 15770 0.29529130 0.11746198 16.918945 6.730076
    Unten links KachelX 17923 KachelY + 1 15771 0.29509955 0.11727155 16.907959 6.719165
    Unten rechts KachelX + 1 17924 KachelY + 1 15771 0.29529130 0.11727155 16.918945 6.719165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11746198-0.11727155) × R
    0.000190429999999991 × 6371000     		dl = 1213.22952999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11746198-0.11727155) × R
    0.000190429999999991 × 6371000     		dr = 1213.22952999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29509955-0.29529130) × cos(0.11746198) × R
    0.000191749999999991 × 0.993109269894725 × 6371000     		do = 1213.22126364218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29509955-0.29529130) × cos(0.11727155) × R
    0.000191749999999991 × 0.993131568771011 × 6371000     		du = 1213.24850482468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11746198)-sin(0.11727155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993109269894725-0.993131568771011)×R²
    abs(0.29529130-0.29509955)×2.2298876286464e-05×R²
    0.000191749999999991×2.2298876286464e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.2298876286464e-05×40589641000000     		ar = 1471932.39282623m²