Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17911 / 12790
↖ ↑ ↗
← N 80.877183°
W130.805969°		 ← 48.42 m → N 80.877183°
W130.803223°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.876747°
W130.805969°		 ← 48.42 m →
2 344 m²		 N 80.876747°
W130.803223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136653900146484 y=0.0975837707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136653900146484 × 217)
    floor (0.136653900146484 × 131072)
    floor (17911.5)     		tx = 17911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975837707519531 × 217)
    floor (0.0975837707519531 × 131072)
    floor (12790.5)     		ty = 12790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17911 / 12790 ti = "17/17911/12790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17911/12790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17911 ÷ 217
    17911 ÷ 131072     		x = 0.136650085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12790 ÷ 217
    12790 ÷ 131072     		y = 0.0975799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136650085449219 × 2 - 1) × π
    -0.726699829101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.28299484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0975799560546875 × 2 - 1) × π
    0.804840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52847970735948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28299484} λ = -2.28299484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52847970735948))-π/2
    2×atan(12.5344356337217)-π/2
    2×1.4911847298187-π/2
    2.9823694596374-1.57079632675     		φ = 1.41157313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28299484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.805969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41157313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.877183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17911 KachelY 12790 -2.28299484 1.41157313 -130.805969 80.877183
    Oben rechts KachelX + 1 17912 KachelY 12790 -2.28294691 1.41157313 -130.803223 80.877183
    Unten links KachelX 17911 KachelY + 1 12791 -2.28299484 1.41156553 -130.805969 80.876747
    Unten rechts KachelX + 1 17912 KachelY + 1 12791 -2.28294691 1.41156553 -130.803223 80.876747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41157313-1.41156553) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41157313-1.41156553) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28299484--2.28294691) × cos(1.41157313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15855127730533 × 6371000     		do = 48.415539897078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28299484--2.28294691) × cos(1.41156553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158558781166408 × 6371000     		du = 48.4178312913298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41157313)-sin(1.41156553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15855127730533-0.158558781166408)×R²
    abs(-2.28294691--2.28299484)×7.50386107839507e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50386107839507e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50386107839507e-06×40589641000000     		ar = 2344.31654982249m²