Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17910 / 15773
↖ ↑ ↗
← N  6.697343°
E 16.765137°		 ← 1 213.24 m → N  6.697343°
E 16.776123°		 →
↑
1 213.29 m
↓
↑
1 213.29 m
↓
N  6.686431°
E 16.765137°		 ← 1 213.27 m →
1 472 032 m²		 N  6.686431°
E 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546585083007812 y=0.481369018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546585083007812 × 215)
    floor (0.546585083007812 × 32768)
    floor (17910.5)     		tx = 17910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481369018554688 × 215)
    floor (0.481369018554688 × 32768)
    floor (15773.5)     		ty = 15773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17910 / 15773 ti = "15/17910/15773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17910/15773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17910 ÷ 215
    17910 ÷ 32768     		x = 0.54656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15773 ÷ 215
    15773 ÷ 32768     		y = 0.481353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54656982421875 × 2 - 1) × π
    0.0931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29260684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481353759765625 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.117157782671417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29260684} λ = 0.29260684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117157782671417))-π/2
    2×atan(1.12429681025057)-π/2
    2×0.843843504305539-π/2
    1.68768700861108-1.57079632675     		φ = 0.11689068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29260684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.765137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11689068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.697343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17910 KachelY 15773 0.29260684 0.11689068 16.765137 6.697343
    Oben rechts KachelX + 1 17911 KachelY 15773 0.29279858 0.11689068 16.776123 6.697343
    Unten links KachelX 17910 KachelY + 1 15774 0.29260684 0.11670024 16.765137 6.686431
    Unten rechts KachelX + 1 17911 KachelY + 1 15774 0.29279858 0.11670024 16.776123 6.686431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11689068-0.11670024) × R
    0.00019044 × 6371000     		dl = 1213.29324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11689068-0.11670024) × R
    0.00019044 × 6371000     		dr = 1213.29324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29260684-0.29279858) × cos(0.11689068) × R
    0.000191739999999996 × 0.993176059645491 × 6371000     		do = 1213.23958137649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29260684-0.29279858) × cos(0.11670024) × R
    0.000191739999999996 × 0.993198251638288 × 6371000     		du = 1213.26669057207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11689068)-sin(0.11670024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993176059645491-0.993198251638288)×R²
    abs(0.29279858-0.29260684)×2.21919927972936e-05×R²
    0.000191739999999996×2.21919927972936e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.21919927972936e-05×40589641000000     		ar = 1472031.83273529m²