Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1791 / 2318
↖ ↑ ↗
← N 77.998190°
W140.646973°		 ← 508.06 m → N 77.998190°
W140.625000°		 →
↑
508.15 m
↓
↑
508.15 m
↓
N 77.993620°
W140.646973°		 ← 508.25 m →
258 220 m²		 N 77.993620°
W140.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109344482421875 y=0.141510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109344482421875 × 214)
    floor (0.109344482421875 × 16384)
    floor (1791.5)     		tx = 1791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141510009765625 × 214)
    floor (0.141510009765625 × 16384)
    floor (2318.5)     		ty = 2318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1791 / 2318 ti = "14/1791/2318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1791/2318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1791 ÷ 214
    1791 ÷ 16384     		x = 0.10931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2318 ÷ 214
    2318 ÷ 16384     		y = 0.1414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45475276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1414794921875 × 2 - 1) × π
    0.717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25265078694568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45475276} λ = -2.45475276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25265078694568))-π/2
    2×atan(9.51291916573172)-π/2
    2×1.46606077779169-π/2
    2.93212155558338-1.57079632675     		φ = 1.36132523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45475276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36132523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.998190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1791 KachelY 2318 -2.45475276 1.36132523 -140.646973 77.998190
    Oben rechts KachelX + 1 1792 KachelY 2318 -2.45436926 1.36132523 -140.625000 77.998190
    Unten links KachelX 1791 KachelY + 1 2319 -2.45475276 1.36124547 -140.646973 77.993620
    Unten rechts KachelX + 1 1792 KachelY + 1 2319 -2.45436926 1.36124547 -140.625000 77.993620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36132523-1.36124547) × R
    7.97599999999843e-05 × 6371000     		dl = 508.1509599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36132523-1.36124547) × R
    7.97599999999843e-05 × 6371000     		dr = 508.1509599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45475276--2.45436926) × cos(1.36132523) × R
    0.00038349999999987 × 0.207942587027589 × 6371000     		do = 508.061652118716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45475276--2.45436926) × cos(1.36124547) × R
    0.00038349999999987 × 0.208020602894872 × 6371000     		du = 508.252266609905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36132523)-sin(1.36124547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207942587027589-0.208020602894872)×R²
    abs(-2.45436926--2.45475276)×7.80158672820941e-05×R²
    0.00038349999999987×7.80158672820941e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.80158672820941e-05×40589641000000     		ar = 258220.446868772m²