Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17908 / 15780
↖ ↑ ↗
← N  6.620957°
E 16.743164°		 ← 1 213.49 m → N  6.620957°
E 16.754151°		 →
↑
1 213.48 m
↓
↑
1 213.48 m
↓
N  6.610044°
E 16.743164°		 ← 1 213.52 m →
1 472 570 m²		 N  6.610044°
E 16.754151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546524047851562 y=0.481582641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546524047851562 × 215)
    floor (0.546524047851562 × 32768)
    floor (17908.5)     		tx = 17908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481582641601562 × 215)
    floor (0.481582641601562 × 32768)
    floor (15780.5)     		ty = 15780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17908 / 15780 ti = "15/17908/15780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17908/15780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17908 ÷ 215
    17908 ÷ 32768     		x = 0.5465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15780 ÷ 215
    15780 ÷ 32768     		y = 0.4815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5465087890625 × 2 - 1) × π
    0.093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29222334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4815673828125 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29222334} λ = 0.29222334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115815549482056))-π/2
    2×atan(1.1227887540651)-π/2
    2×0.84317691539633-π/2
    1.68635383079266-1.57079632675     		φ = 0.11555750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29222334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.743164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11555750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.620957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17908 KachelY 15780 0.29222334 0.11555750 16.743164 6.620957
    Oben rechts KachelX + 1 17909 KachelY 15780 0.29241509 0.11555750 16.754151 6.620957
    Unten links KachelX 17908 KachelY + 1 15781 0.29222334 0.11536703 16.743164 6.610044
    Unten rechts KachelX + 1 17909 KachelY + 1 15781 0.29241509 0.11536703 16.754151 6.610044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11555750-0.11536703) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dl = 1213.48436999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11555750-0.11536703) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dr = 1213.48436999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29222334-0.29241509) × cos(0.11555750) × R
    0.000191749999999991 × 0.9933306586621 × 6371000     		do = 1213.49172084991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29222334-0.29241509) × cos(0.11536703) × R
    0.000191749999999991 × 0.993352601927508 × 6371000     		du = 1213.51852760421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11555750)-sin(0.11536703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9933306586621-0.993352601927508)×R²
    abs(0.29241509-0.29222334)×2.19432654079421e-05×R²
    0.000191749999999991×2.19432654079421e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.19432654079421e-05×40589641000000     		ar = 1472569.50561637m²