Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17907 / 15779
↖ ↑ ↗
← N  6.631870°
E 16.732178°		 ← 1 213.46 m → N  6.631870°
E 16.743164°		 →
↑
1 213.48 m
↓
↑
1 213.48 m
↓
N  6.620957°
E 16.732178°		 ← 1 213.49 m →
1 472 537 m²		 N  6.620957°
E 16.743164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546493530273438 y=0.481552124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546493530273438 × 215)
    floor (0.546493530273438 × 32768)
    floor (17907.5)     		tx = 17907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481552124023438 × 215)
    floor (0.481552124023438 × 32768)
    floor (15779.5)     		ty = 15779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17907 / 15779 ti = "15/17907/15779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17907/15779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17907 ÷ 215
    17907 ÷ 32768     		x = 0.546478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15779 ÷ 215
    15779 ÷ 32768     		y = 0.481536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546478271484375 × 2 - 1) × π
    0.09295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29203159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481536865234375 × 2 - 1) × π
    0.03692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.116007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29203159} λ = 0.29203159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116007297080536))-π/2
    2×atan(1.12300406675447)-π/2
    2×0.843272148727116-π/2
    1.68654429745423-1.57079632675     		φ = 0.11574797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29203159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.732178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11574797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.631870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17907 KachelY 15779 0.29203159 0.11574797 16.732178 6.631870
    Oben rechts KachelX + 1 17908 KachelY 15779 0.29222334 0.11574797 16.743164 6.631870
    Unten links KachelX 17907 KachelY + 1 15780 0.29203159 0.11555750 16.732178 6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 17908 KachelY + 1 15780 0.29222334 0.11555750 16.743164 6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11574797-0.11555750) × R
    0.000190470000000012 × 6371000     		dl = 1213.48437000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11574797-0.11555750) × R
    0.000190470000000012 × 6371000     		dr = 1213.48437000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29203159-0.29222334) × cos(0.11574797) × R
    0.000191749999999991 × 0.993308679359827 × 6371000     		do = 1213.46487007157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29203159-0.29222334) × cos(0.11555750) × R
    0.000191749999999991 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 1213.49172084991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11574797)-sin(0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993308679359827-0.9933306586621)×R²
    abs(0.29222334-0.29203159)×2.19793022729897e-05×R²
    0.000191749999999991×2.19793022729897e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.19793022729897e-05×40589641000000     		ar = 1472536.94932773m²