Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1790 / 2314
↖ ↑ ↗
← N 61.396719°
W101.337891°		 ← 2 339.37 m → N 61.396719°
W101.293945°		 →
↑
2 340.13 m
↓
↑
2 340.13 m
↓
N 61.375673°
W101.337891°		 ← 2 340.95 m →
5 476 279 m²		 N 61.375673°
W101.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21856689453125 y=0.28253173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21856689453125 × 213)
    floor (0.21856689453125 × 8192)
    floor (1790.5)     		tx = 1790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28253173828125 × 213)
    floor (0.28253173828125 × 8192)
    floor (2314.5)     		ty = 2314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1790 / 2314 ti = "13/1790/2314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1790/2314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1790 ÷ 213
    1790 ÷ 8192     		x = 0.218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2314 ÷ 213
    2314 ÷ 8192     		y = 0.282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282470703125 × 2 - 1) × π
    0.43505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36677688196704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76867985} λ = -1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36677688196704))-π/2
    2×atan(3.92268701490952)-π/2
    2×1.3211856105166-π/2
    2.6423712210332-1.57079632675     		φ = 1.07157489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07157489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.396719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1790 KachelY 2314 -1.76867985 1.07157489 -101.337891 61.396719
    Oben rechts KachelX + 1 1791 KachelY 2314 -1.76791286 1.07157489 -101.293945 61.396719
    Unten links KachelX 1790 KachelY + 1 2315 -1.76867985 1.07120758 -101.337891 61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 1791 KachelY + 1 2315 -1.76791286 1.07120758 -101.293945 61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07157489-1.07120758) × R
    0.000367309999999899 × 6371000     		dl = 2340.13200999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07157489-1.07120758) × R
    0.000367309999999899 × 6371000     		dr = 2340.13200999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76867985--1.76791286) × cos(1.07157489) × R
    0.000766990000000023 × 0.478742139876658 × 6371000     		do = 2339.3702541476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76867985--1.76791286) × cos(1.07120758) × R
    0.000766990000000023 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 2340.94590172944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07157489)-sin(1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478742139876658-0.479064589430628)×R²
    abs(-1.76791286--1.76867985)×0.000322449553970483×R²
    0.000766990000000023×0.000322449553970483×6371000²
    0.000766990000000023×0.000322449553970483×40589641000000     		ar = 5476278.88821191m²