Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1790 / 2278
↖ ↑ ↗
← N 78.179588°
W140.668945°		 ← 500.48 m → N 78.179588°
W140.646973°		 →
↑
500.57 m
↓
↑
500.57 m
↓
N 78.175086°
W140.668945°		 ← 500.67 m →
250 572 m²		 N 78.175086°
W140.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109283447265625 y=0.139068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109283447265625 × 214)
    floor (0.109283447265625 × 16384)
    floor (1790.5)     		tx = 1790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139068603515625 × 214)
    floor (0.139068603515625 × 16384)
    floor (2278.5)     		ty = 2278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1790 / 2278 ti = "14/1790/2278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1790/2278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1790 ÷ 214
    1790 ÷ 16384     		x = 0.1092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2278 ÷ 214
    2278 ÷ 16384     		y = 0.1390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45513625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1390380859375 × 2 - 1) × π
    0.721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2679905948241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45513625} λ = -2.45513625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2679905948241))-π/2
    2×atan(9.65997050419785)-π/2
    2×1.46764376910196-π/2
    2.93528753820392-1.57079632675     		φ = 1.36449121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45513625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36449121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.179588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1790 KachelY 2278 -2.45513625 1.36449121 -140.668945 78.179588
    Oben rechts KachelX + 1 1791 KachelY 2278 -2.45475276 1.36449121 -140.646973 78.179588
    Unten links KachelX 1790 KachelY + 1 2279 -2.45513625 1.36441264 -140.668945 78.175086
    Unten rechts KachelX + 1 1791 KachelY + 1 2279 -2.45475276 1.36441264 -140.646973 78.175086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36449121-1.36441264) × R
    7.8569999999889e-05 × 6371000     		dl = 500.569469999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36449121-1.36441264) × R
    7.8569999999889e-05 × 6371000     		dr = 500.569469999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45513625--2.45475276) × cos(1.36449121) × R
    0.000383489999999931 × 0.204844775105168 × 6371000     		do = 500.47978419108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45513625--2.45475276) × cos(1.36441264) × R
    0.000383489999999931 × 0.204921678354463 × 6371000     		du = 500.667675347157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36449121)-sin(1.36441264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204844775105168-0.204921678354463)×R²
    abs(-2.45475276--2.45513625)×7.69032492950739e-05×R²
    0.000383489999999931×7.69032492950739e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.69032492950739e-05×40589641000000     		ar = 250571.926733623m²