Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17899 / 15802
↖ ↑ ↗
← N  6.380812°
E 16.644287°		 ← 1 214.07 m → N  6.380812°
E 16.655273°		 →
↑
1 214.06 m
↓
↑
1 214.06 m
↓
N  6.369894°
E 16.644287°		 ← 1 214.10 m →
1 473 969 m²		 N  6.369894°
E 16.655273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546249389648438 y=0.482254028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546249389648438 × 215)
    floor (0.546249389648438 × 32768)
    floor (17899.5)     		tx = 17899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482254028320312 × 215)
    floor (0.482254028320312 × 32768)
    floor (15802.5)     		ty = 15802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17899 / 15802 ti = "15/17899/15802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17899/15802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17899 ÷ 215
    17899 ÷ 32768     		x = 0.546234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15802 ÷ 215
    15802 ÷ 32768     		y = 0.48223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546234130859375 × 2 - 1) × π
    0.09246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29049761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.111597102315491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29049761} λ = 0.29049761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111597102315491))-π/2
    2×atan(1.11806230517337)-π/2
    2×0.841081255467953-π/2
    1.68216251093591-1.57079632675     		φ = 0.11136618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29049761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.644287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11136618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.380812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17899 KachelY 15802 0.29049761 0.11136618 16.644287 6.380812
    Oben rechts KachelX + 1 17900 KachelY 15802 0.29068936 0.11136618 16.655273 6.380812
    Unten links KachelX 17899 KachelY + 1 15803 0.29049761 0.11117562 16.644287 6.369894
    Unten rechts KachelX + 1 17900 KachelY + 1 15803 0.29068936 0.11117562 16.655273 6.369894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11136618-0.11117562) × R
    0.000190559999999992 × 6371000     		dl = 1214.05775999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11136618-0.11117562) × R
    0.000190559999999992 × 6371000     		dr = 1214.05775999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29049761-0.29068936) × cos(0.11136618) × R
    0.000191749999999991 × 0.993805193500875 × 6371000     		do = 1214.07143123445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29049761-0.29068936) × cos(0.11117562) × R
    0.000191749999999991 × 0.993826353555867 × 6371000     		du = 1214.09728118816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11136618)-sin(0.11117562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993805193500875-0.993826353555867)×R²
    abs(0.29068936-0.29049761)×2.11600549918645e-05×R²
    0.000191749999999991×2.11600549918645e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.11600549918645e-05×40589641000000     		ar = 1473968.53841323m²