Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17897 / 15804
↖ ↑ ↗
← N  6.358976°
E 16.622315°		 ← 1 214.06 m → N  6.358976°
E 16.633301°		 →
↑
1 214.12 m
↓
↑
1 214.12 m
↓
N  6.348057°
E 16.622315°		 ← 1 214.09 m →
1 474 032 m²		 N  6.348057°
E 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546188354492188 y=0.482315063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546188354492188 × 215)
    floor (0.546188354492188 × 32768)
    floor (17897.5)     		tx = 17897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482315063476562 × 215)
    floor (0.482315063476562 × 32768)
    floor (15804.5)     		ty = 15804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17897 / 15804 ti = "15/17897/15804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17897/15804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17897 ÷ 215
    17897 ÷ 32768     		x = 0.546173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15804 ÷ 215
    15804 ÷ 32768     		y = 0.4822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546173095703125 × 2 - 1) × π
    0.09234619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29011412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4822998046875 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.11121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29011412} λ = 0.29011412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11121360711853))-π/2
    2×atan(1.11763361585484)-π/2
    2×0.840890691652542-π/2
    1.68178138330508-1.57079632675     		φ = 0.11098506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29011412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.622315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11098506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.358976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17897 KachelY 15804 0.29011412 0.11098506 16.622315 6.358976
    Oben rechts KachelX + 1 17898 KachelY 15804 0.29030586 0.11098506 16.633301 6.358976
    Unten links KachelX 17897 KachelY + 1 15805 0.29011412 0.11079449 16.622315 6.348057
    Unten rechts KachelX + 1 17898 KachelY + 1 15805 0.29030586 0.11079449 16.633301 6.348057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11098506-0.11079449) × R
    0.000190570000000001 × 6371000     		dl = 1214.12147000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11098506-0.11079449) × R
    0.000190570000000001 × 6371000     		dr = 1214.12147000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29011412-0.29030586) × cos(0.11098506) × R
    0.000191740000000051 × 0.99384747752193 × 6371000     		do = 1214.05976903181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29011412-0.29030586) × cos(0.11079449) × R
    0.000191740000000051 × 0.993868566503976 × 6371000     		du = 1214.08553081644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11098506)-sin(0.11079449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99384747752193-0.993868566503976)×R²
    abs(0.29030586-0.29011412)×2.10889820460025e-05×R²
    0.000191740000000051×2.10889820460025e-05×6371000²
    0.000191740000000051×2.10889820460025e-05×40589641000000     		ar = 1474031.67487371m²