Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17895 / 13449
↖ ↑ ↗
← N 80.585684°
W130.849914°		 ← 49.95 m → N 80.585684°
W130.847168°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.585235°
W130.849914°		 ← 49.95 m →
2 495 m²		 N 80.585235°
W130.847168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136531829833984 y=0.102611541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136531829833984 × 217)
    floor (0.136531829833984 × 131072)
    floor (17895.5)     		tx = 17895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102611541748047 × 217)
    floor (0.102611541748047 × 131072)
    floor (13449.5)     		ty = 13449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17895 / 13449 ti = "17/17895/13449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17895/13449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17895 ÷ 217
    17895 ÷ 131072     		x = 0.136528015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13449 ÷ 217
    13449 ÷ 131072     		y = 0.102607727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136528015136719 × 2 - 1) × π
    -0.726943969726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.28376183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102607727050781 × 2 - 1) × π
    0.794784545898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.49688929050986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28376183} λ = -2.28376183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49688929050986))-π/2
    2×atan(12.1446566420906)-π/2
    2×1.48864092465388-π/2
    2.97728184930777-1.57079632675     		φ = 1.40648552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28376183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.849914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40648552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.585684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17895 KachelY 13449 -2.28376183 1.40648552 -130.849914 80.585684
    Oben rechts KachelX + 1 17896 KachelY 13449 -2.28371390 1.40648552 -130.847168 80.585684
    Unten links KachelX 17895 KachelY + 1 13450 -2.28376183 1.40647768 -130.849914 80.585235
    Unten rechts KachelX + 1 17896 KachelY + 1 13450 -2.28371390 1.40647768 -130.847168 80.585235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40648552-1.40647768) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dl = 49.9486399991729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40648552-1.40647768) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dr = 49.9486399991729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28376183--2.28371390) × cos(1.40648552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163572459207524 × 6371000     		do = 49.9488181957322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28376183--2.28371390) × cos(1.40647768) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163580193608066 × 6371000     		du = 49.9511799879827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40648552)-sin(1.40647768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163572459207524-0.163580193608066)×R²
    abs(-2.28371390--2.28376183)×7.73440054241403e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.73440054241403e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.73440054241403e-06×40589641000000     		ar = 2494.93452262692m²