Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17891 / 10723
↖ ↑ ↗
← N 76.222984°
W 81.721802°		 ← 145.46 m → N 76.222984°
W 81.716309°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
N 76.221675°
W 81.721802°		 ← 145.47 m →
21 167 m²		 N 76.221675°
W 81.716309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273002624511719 y=0.163627624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273002624511719 × 216)
    floor (0.273002624511719 × 65536)
    floor (17891.5)     		tx = 17891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163627624511719 × 216)
    floor (0.163627624511719 × 65536)
    floor (10723.5)     		ty = 10723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17891 / 10723 ti = "16/17891/10723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17891/10723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17891 ÷ 216
    17891 ÷ 65536     		x = 0.272994995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10723 ÷ 216
    10723 ÷ 65536     		y = 0.163619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272994995117188 × 2 - 1) × π
    -0.454010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42631451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163619995117188 × 2 - 1) × π
    0.672760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11353790424828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42631451} λ = -1.42631451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11353790424828))-π/2
    2×atan(8.27747445409351)-π/2
    2×1.45056917696275-π/2
    2.90113835392549-1.57079632675     		φ = 1.33034203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42631451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.721802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33034203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.222984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17891 KachelY 10723 -1.42631451 1.33034203 -81.721802 76.222984
    Oben rechts KachelX + 1 17892 KachelY 10723 -1.42621864 1.33034203 -81.716309 76.222984
    Unten links KachelX 17891 KachelY + 1 10724 -1.42631451 1.33031919 -81.721802 76.221675
    Unten rechts KachelX + 1 17892 KachelY + 1 10724 -1.42621864 1.33031919 -81.716309 76.221675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33034203-1.33031919) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33034203-1.33031919) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42631451--1.42621864) × cos(1.33034203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238143877611496 × 6371000     		do = 145.455367945475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42631451--1.42621864) × cos(1.33031919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238166060439999 × 6371000     		du = 145.468916945829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33034203)-sin(1.33031919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238143877611496-0.238166060439999)×R²
    abs(-1.42621864--1.42631451)×2.218282850322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.218282850322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.218282850322e-05×40589641000000     		ar = 21166.7258305572m²