Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17890 / 15799
↖ ↑ ↗
← N  6.413566°
E 16.545410°		 ← 1 213.99 m → N  6.413566°
E 16.556396°		 →
↑
1 213.99 m
↓
↑
1 213.99 m
↓
N  6.402649°
E 16.545410°		 ← 1 214.02 m →
1 473 797 m²		 N  6.402649°
E 16.556396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545974731445312 y=0.482162475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545974731445312 × 215)
    floor (0.545974731445312 × 32768)
    floor (17890.5)     		tx = 17890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482162475585938 × 215)
    floor (0.482162475585938 × 32768)
    floor (15799.5)     		ty = 15799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17890 / 15799 ti = "15/17890/15799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17890/15799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17890 ÷ 215
    17890 ÷ 32768     		x = 0.54595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15799 ÷ 215
    15799 ÷ 32768     		y = 0.482147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54595947265625 × 2 - 1) × π
    0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482147216796875 × 2 - 1) × π
    0.03570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.112172345110931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28877188} λ = 0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112172345110931))-π/2
    2×atan(1.11870564748055)-π/2
    2×0.841367085954363-π/2
    1.68273417190873-1.57079632675     		φ = 0.11193785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11193785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.413566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17890 KachelY 15799 0.28877188 0.11193785 16.545410 6.413566
    Oben rechts KachelX + 1 17891 KachelY 15799 0.28896363 0.11193785 16.556396 6.413566
    Unten links KachelX 17890 KachelY + 1 15800 0.28877188 0.11174730 16.545410 6.402649
    Unten rechts KachelX + 1 17891 KachelY + 1 15800 0.28896363 0.11174730 16.556396 6.402649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11193785-0.11174730) × R
    0.000190550000000012 × 6371000     		dl = 1213.99405000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11193785-0.11174730) × R
    0.000190550000000012 × 6371000     		dr = 1213.99405000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28877188-0.28896363) × cos(0.11193785) × R
    0.000191750000000046 × 0.993741497927057 × 6371000     		do = 1213.99361822178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28877188-0.28896363) × cos(0.11174730) × R
    0.000191750000000046 × 0.993762765127179 × 6371000     		du = 1214.01959906818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11193785)-sin(0.11174730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993741497927057-0.993762765127179)×R²
    abs(0.28896363-0.28877188)×2.12672001214109e-05×R²
    0.000191750000000046×2.12672001214109e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.12672001214109e-05×40589641000000     		ar = 1473796.80401521m²