Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17890 / 10725
↖ ↑ ↗
← N 76.220367°
W 81.727295°		 ← 145.50 m → N 76.220367°
W 81.721802°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
N 76.219058°
W 81.727295°		 ← 145.51 m →
21 173 m²		 N 76.219058°
W 81.721802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272987365722656 y=0.163658142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272987365722656 × 216)
    floor (0.272987365722656 × 65536)
    floor (17890.5)     		tx = 17890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163658142089844 × 216)
    floor (0.163658142089844 × 65536)
    floor (10725.5)     		ty = 10725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17890 / 10725 ti = "16/17890/10725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17890/10725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17890 ÷ 216
    17890 ÷ 65536     		x = 0.272979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10725 ÷ 216
    10725 ÷ 65536     		y = 0.163650512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42641039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163650512695312 × 2 - 1) × π
    0.672698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1133461566498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42641039} λ = -1.42641039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1133461566498))-π/2
    2×atan(8.27588742040527)-π/2
    2×1.45054634307805-π/2
    2.9010926861561-1.57079632675     		φ = 1.33029636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42641039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.727295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33029636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.220367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17890 KachelY 10725 -1.42641039 1.33029636 -81.727295 76.220367
    Oben rechts KachelX + 1 17891 KachelY 10725 -1.42631451 1.33029636 -81.721802 76.220367
    Unten links KachelX 17890 KachelY + 1 10726 -1.42641039 1.33027352 -81.727295 76.219058
    Unten rechts KachelX + 1 17891 KachelY + 1 10726 -1.42631451 1.33027352 -81.721802 76.219058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33029636-1.33027352) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33029636-1.33027352) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42641039--1.42631451) × cos(1.33029636) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238188233432069 × 6371000     		do = 145.49763491047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42641039--1.42631451) × cos(1.33027352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238210416012129 × 6371000     		du = 145.511185172329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33029636)-sin(1.33027352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238188233432069-0.238210416012129)×R²
    abs(-1.42631451--1.42641039)×2.2182580059954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.2182580059954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.2182580059954e-05×40589641000000     		ar = 21172.8763420989m²