Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1789 / 283
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E134.472657°		 ← 3 982.90 m → N 78.242436°
E134.648438°		 →
↑
3 988.88 m
↓
↑
3 988.88 m
↓
N 78.206563°
E134.472657°		 ← 3 994.88 m →
15 911 227 m²		 N 78.206563°
E134.648438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873779296875 y=0.138427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873779296875 × 211)
    floor (0.873779296875 × 2048)
    floor (1789.5)     		tx = 1789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138427734375 × 211)
    floor (0.138427734375 × 2048)
    floor (283.5)     		ty = 283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1789 / 283 ti = "11/1789/283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1789/283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1789 ÷ 211
    1789 ÷ 2048     		x = 0.87353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 283 ÷ 211
    283 ÷ 2048     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87353515625 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34699061} λ = 2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1789 KachelY 283 2.34699061 1.36558812 134.472657 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 1790 KachelY 283 2.35005857 1.36558812 134.648438 78.242436
    Unten links KachelX 1789 KachelY + 1 284 2.34699061 1.36496202 134.472657 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 1790 KachelY + 1 284 2.35005857 1.36496202 134.648438 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36496202) × R
    0.000626099999999852 × 6371000     		dl = 3988.88309999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36496202) × R
    0.000626099999999852 × 6371000     		dr = 3988.88309999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34699061-2.35005857) × cos(1.36558812) × R
    0.00306795999999965 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 3982.90254839851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34699061-2.35005857) × cos(1.36496202) × R
    0.00306795999999965 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 3994.88273571794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.204383926193747)×R²
    abs(2.35005857-2.34699061)×0.000612923553171912×R²
    0.00306795999999965×0.000612923553171912×6371000²
    0.00306795999999965×0.000612923553171912×40589641000000     		ar = 15911226.9673729m²