Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1789 / 2315
↖ ↑ ↗
← N 61.375673°
W101.381836°		 ← 2 340.95 m → N 61.375673°
W101.337891°		 →
↑
2 341.72 m
↓
↑
2 341.72 m
↓
N 61.354614°
W101.381836°		 ← 2 342.52 m →
5 483 697 m²		 N 61.354614°
W101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21844482421875 y=0.28265380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21844482421875 × 213)
    floor (0.21844482421875 × 8192)
    floor (1789.5)     		tx = 1789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28265380859375 × 213)
    floor (0.28265380859375 × 8192)
    floor (2315.5)     		ty = 2315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1789 / 2315 ti = "13/1789/2315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1789/2315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1789 ÷ 213
    1789 ÷ 8192     		x = 0.2183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2315 ÷ 213
    2315 ÷ 8192     		y = 0.2825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    0.434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36600989157312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76944684} λ = -1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36600989157312))-π/2
    2×atan(3.9196795051637)-π/2
    2×1.32100195338203-π/2
    2.64200390676406-1.57079632675     		φ = 1.07120758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07120758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.375673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1789 KachelY 2315 -1.76944684 1.07120758 -101.381836 61.375673
    Oben rechts KachelX + 1 1790 KachelY 2315 -1.76867985 1.07120758 -101.337891 61.375673
    Unten links KachelX 1789 KachelY + 1 2316 -1.76944684 1.07084002 -101.381836 61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 1790 KachelY + 1 2316 -1.76867985 1.07084002 -101.337891 61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07120758-1.07084002) × R
    0.000367560000000156 × 6371000     		dl = 2341.72476000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07120758-1.07084002) × R
    0.000367560000000156 × 6371000     		dr = 2341.72476000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76944684--1.76867985) × cos(1.07120758) × R
    0.000766990000000023 × 0.479064589430628 × 6371000     		do = 2340.94590172944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76944684--1.76867985) × cos(1.07084002) × R
    0.000766990000000023 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 2342.52230557973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07120758)-sin(1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479064589430628-0.479387193751709)×R²
    abs(-1.76867985--1.76944684)×0.000322604321080666×R²
    0.000766990000000023×0.000322604321080666×6371000²
    0.000766990000000023×0.000322604321080666×40589641000000     		ar = 5483696.79360517m²